MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg2 17731
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg2.p + = (+g𝐺)
issubg2.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubg2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 17717 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
3 eqid 2724 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
43subgbas 17720 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
53subggrp 17719 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
6 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
76grpbn0 17573 . . . . 5 ((𝐺s 𝑆) ∈ Grp → (Base‘(𝐺s 𝑆)) ≠ ∅)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘(𝐺s 𝑆)) ≠ ∅)
94, 8eqnetrd 2963 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
10 issubg2.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
1110subgcl 17726 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12113expa 1111 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1312ralrimiva 3068 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14 issubg2.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
1514subginvcl 17725 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
1613, 15jca 555 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1716ralrimiva 3068 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
182, 9, 173jca 1379 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
19 simpl 474 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simpr1 1210 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆𝐵)
213, 1ressbas2 16054 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
23 fvex 6314 . . . . . . 7 (Base‘(𝐺s 𝑆)) ∈ V
2422, 23syl6eqel 2811 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ V)
253, 10ressplusg 16116 . . . . . 6 (𝑆 ∈ V → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
27 simpr3 1214 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
28 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2928ralimi 3054 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
31 oveq1 6772 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
3231eleq1d 2788 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆))
33 oveq2 6773 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
3433eleq1d 2788 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
3532, 34rspc2v 3426 . . . . . . 7 ((𝑢𝑆𝑣𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
3630, 35syl5com 31 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆))
37363impib 1108 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
3820sseld 3708 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑢𝑆𝑢𝐵))
3920sseld 3708 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑣𝑆𝑣𝐵))
4020sseld 3708 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝑤𝑆𝑤𝐵))
4138, 39, 403anim123d 1519 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ((𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)))
4241imp 444 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵))
431, 10grpass 17553 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
4443adantlr 753 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
4542, 44syldan 488 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
46 simpr2 1212 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ≠ ∅)
47 n0 4039 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢𝑆)
4846, 47sylib 208 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∃𝑢 𝑢𝑆)
4920sselda 3709 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → 𝑢𝐵)
50 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
511, 10, 50, 14grplinv 17590 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝐵) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) = (0g𝐺))
5251adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝐵) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) = (0g𝐺))
5349, 52syldan 488 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) = (0g𝐺))
54 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
5554ralimi 3054 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
5627, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
57 fveq2 6304 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑢))
5857eleq1d 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼𝑢) ∈ 𝑆))
5958rspccva 3412 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑢𝑆) → (𝐼𝑢) ∈ 𝑆)
6056, 59sylan 489 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → (𝐼𝑢) ∈ 𝑆)
61 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → 𝑢𝑆)
6230adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
63 ovrspc2v 6787 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑢) ∈ 𝑆𝑢𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
6460, 61, 62, 63syl21anc 1438 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ((𝐼𝑢) + 𝑢) ∈ 𝑆)
6553, 64eqeltrrd 2804 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
6648, 65exlimddv 1976 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
671, 10, 50grplid 17574 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
6867adantlr 753 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
6949, 68syldan 488 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) ∧ 𝑢𝑆) → ((0g𝐺) + 𝑢) = 𝑢)
7022, 26, 37, 45, 66, 69, 60, 53isgrpd 17566 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
711issubg 17716 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
7219, 20, 70, 71syl3anbrc 1383 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7372ex 449 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
7418, 73impbid2 216 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wex 1817  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  Vcvv 3304  wss 3680  c0 4023  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  s cress 15981  +gcplusg 16064  0gc0g 16223  Grpcgrp 17544  invgcminusg 17545  SubGrpcsubg 17710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-subg 17713
This theorem is referenced by:  issubgrpd2  17732  issubg3  17734  issubg4  17735  grpissubg  17736  subgint  17740  0subg  17741  cycsubgcl  17742  nmzsubg  17757  ghmrn  17795  ghmpreima  17804  gastacl  17863  torsubg  18378  oddvdssubg  18379  subrgugrp  18922  cntzsubr  18935  lsssubg  19080  lidlsubg  19338  mplsubglem  19557  mplind  19625  cnsubglem  19918  cnmsubglem  19932  cpmatsubgpmat  20648
  Copyright terms: Public domain W3C validator