MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issqf 25083
Description: Two ways to say that a number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
issqf (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem issqf
StepHypRef Expression
1 isnsqf 25082 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
21necon3abid 2969 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3 ralnex 3131 . . 3 (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴)
4 1nn0 11521 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
5 pccl 15777 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
65ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
7 nn0ltp1le 11648 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
84, 6, 7sylancr 698 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
9 1re 10252 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
106nn0red 11565 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
11 ltnle 10330 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
129, 10, 11sylancr 698 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
13 df-2 11292 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
1413breq1i 4812 . . . . . . 7 (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
15 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
16 nnz 11612 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
17 2nn0 11522 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
18 pcdvdsb 15796 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
1917, 18mp3an3 1562 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2015, 16, 19syl2anr 496 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2114, 20syl5bbr 274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
228, 12, 213bitr3d 298 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2322con1bid 344 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
2423ralbidva 3124 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
253, 24syl5bbr 274 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
262, 25bitrd 268 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  wrex 3052   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   < clt 10287  cle 10288  cn 11233  2c2 11283  0cn0 11505  cz 11590  cexp 13075  cdvds 15203  cprime 15608   pCnt cpc 15764  μcmu 25042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-dvds 15204  df-gcd 15440  df-prm 15609  df-pc 15765  df-mu 25048
This theorem is referenced by:  sqfpc  25084  mumullem2  25127  sqff1o  25129
  Copyright terms: Public domain W3C validator