Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfgelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfgelem 41497
 Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all left-closed intervals unbounded above are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (iv) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfgelem.x 𝑥𝜑
issmfgelem.a 𝑎𝜑
issmfgelem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfgelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmfgelem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmfgelem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfgelem.p (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfgelem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmfgelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfgelem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmfgelem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmfgelem.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43, 1restuni4 39825 . . . . . . . 8 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
54eqcomd 2777 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
65rabeqd 39797 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
76adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
8 issmfgelem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
9 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
108, 9nfan 1980 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
11 issmfgelem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
12 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1980 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
143uniexd 39802 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1514adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
16 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
1715, 16ssexd 4939 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
181, 17mpdan 667 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ V)
19 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
203, 18, 19subsalsal 41094 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2120adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
22 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
232adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
254adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2624, 25eleqtrd 2852 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
2723, 26ffvelrnd 6503 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2827rexrd 10291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
2928adantlr 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
30 issmfgelem.p . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
315rabeqd 39797 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)})
3231eleq1d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
3311, 32ralbid 3132 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
3430, 33mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3534adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
36 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
37 rspa 3079 . . . . . . . 8 ((∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3835, 36, 37syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
3938adantlr 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ 𝑎 ≤ (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
40 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
4110, 13, 21, 22, 29, 39, 40salpreimagelt 41438 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
427, 41eqeltrd 2850 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4342ralrimiva 3115 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
441, 2, 433jca 1122 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
45 issmfgelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
463, 45issmf 41457 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4744, 46mpbird 247 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631  Ⅎwnf 1856   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ∪ cuni 4574   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  ℝ*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277   ↾t crest 16289  SAlgcsalg 41045  SMblFncsmblfn 41429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-acn 8968  df-ac 9139  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-rest 16291  df-salg 41046  df-smblfn 41430 This theorem is referenced by:  issmfge  41498
 Copyright terms: Public domain W3C validator