Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfdmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfdmpt 41477
 Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfdmpt.x 𝑥𝜑
issmfdmpt.a 𝑎𝜑
issmfdmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfdmpt.i (𝜑𝐴 𝑆)
issmfdmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
issmfdmpt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
Assertion
Ref Expression
issmfdmpt (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfdmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4881 . 2 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 issmfdmpt.a . 2 𝑎𝜑
3 issmfdmpt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 issmfdmpt.i . 2 (𝜑𝐴 𝑆)
5 issmfdmpt.x . . 3 𝑥𝜑
6 issmfdmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 eqid 2771 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
85, 6, 7fmptdf 6529 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
9 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
109, 6fvmpt2d 6435 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
1110breq1d 4796 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎))
1211ex 397 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎)))
135, 12ralrimi 3106 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎))
14 rabbi 3269 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎) ↔ {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎})
1513, 14sylib 208 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎})
1615adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎})
17 issmfdmpt.p . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
1816, 17eqeltrd 2850 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
191, 2, 3, 4, 8, 18issmfdf 41466 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631  Ⅎwnf 1856   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065   ⊆ wss 3723  ∪ cuni 4574   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137   < clt 10276   ↾t crest 16289  SAlgcsalg 41045  SMblFncsmblfn 41429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-smblfn 41430 This theorem is referenced by:  smfadd  41493  smfrec  41516  smfmul  41522
 Copyright terms: Public domain W3C validator