Theorem isrrvv 30836

Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isrrvv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)

Assertion

Ref	Expression
isrrvv	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem isrrvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrrvv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2	1	rrvmbfm 30835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
3		domprobsiga 30804	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		brsigarn 30578	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
6		elrnsiga 30520	. . . 4 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8	4, 7	ismbfm 30645	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) ↔ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑𝑚 ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
9		unibrsiga 30580	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
10	9	oveq1i 6825	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝔅ℝ ↑𝑚 ∪ dom 𝑃) = (ℝ ↑𝑚 ∪ dom 𝑃)
11	10	eleq2i 2832	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑𝑚 ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 ∪ dom 𝑃))
12		reex 10240	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
13		uniexg 7122	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ dom 𝑃 ∈ V)
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ V)
15		elmapg 8039	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ dom 𝑃 ∈ V) → (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
16	12, 14, 15	sylancr 698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
17	11, 16	syl5bb 272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑𝑚 ∪ dom 𝑃) ↔ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ))
18	17	anbi1d 743	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ (∪ 𝔅ℝ ↑𝑚 ∪ dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
19	2, 8, 18	3bitrd 294	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  Vcvv 3341  ∪ cuni 4589  ^◡ccnv 5266  dom cdm 5267  ran crn 5268   “ cima 5270  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↑_𝑚 cmap 8026  ℝcr 10148  sigAlgebracsiga 30501  𝔅_ℝcbrsiga 30575  MblFnMcmbfm 30643  Probcprb 30800  rRndVarcrrv 30833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-ioo 12393  df-topgen 16327  df-top 20922  df-bases 20973  df-esum 30421  df-siga 30502  df-sigagen 30533  df-brsiga 30576  df-meas 30590  df-mbfm 30644  df-prob 30801  df-rrv 30834

This theorem is referenced by:  rrvvf  30837  rrvfinvima  30843  0rrv  30844  coinfliprv  30875