Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrrvv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrrvv 30836
Description: Elementhood to the set of real-valued random variables with respect to the probability 𝑃. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isrrvv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
Assertion
Ref Expression
isrrvv (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem isrrvv
StepHypRef Expression
1 isrrvv.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
21rrvmbfm 30835 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
3 domprobsiga 30804 . . . 4 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
5 brsigarn 30578 . . . 4 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
6 elrnsiga 30520 . . . 4 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
75, 6mp1i 13 . . 3 (𝜑 → 𝔅 ran sigAlgebra)
84, 7ismbfm 30645 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅) ↔ (𝑋 ∈ ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
9 unibrsiga 30580 . . . . . 6 𝔅 = ℝ
109oveq1i 6825 . . . . 5 ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) = (ℝ ↑𝑚 dom 𝑃)
1110eleq2i 2832 . . . 4 (𝑋 ∈ ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 dom 𝑃))
12 reex 10240 . . . . 5 ℝ ∈ V
13 uniexg 7122 . . . . . 6 (dom 𝑃 ran sigAlgebra → dom 𝑃 ∈ V)
144, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑃 ∈ V)
15 elmapg 8039 . . . . 5 ((ℝ ∈ V ∧ dom 𝑃 ∈ V) → (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 dom 𝑃) ↔ 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ))
1612, 14, 15sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 dom 𝑃) ↔ 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ))
1711, 16syl5bb 272 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) ↔ 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ))
1817anbi1d 743 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ∈ ( 𝔅𝑚 dom 𝑃) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
192, 8, 183bitrd 294 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅 (𝑋𝑦) ∈ dom 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2140  wral 3051  Vcvv 3341   cuni 4589  ccnv 5266  dom cdm 5267  ran crn 5268  cima 5270  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  𝑚 cmap 8026  cr 10148  sigAlgebracsiga 30501  𝔅cbrsiga 30575  MblFnMcmbfm 30643  Probcprb 30800  rRndVarcrrv 30833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-ioo 12393  df-topgen 16327  df-top 20922  df-bases 20973  df-esum 30421  df-siga 30502  df-sigagen 30533  df-brsiga 30576  df-meas 30590  df-mbfm 30644  df-prob 30801  df-rrv 30834
This theorem is referenced by:  rrvvf  30837  rrvfinvima  30843  0rrv  30844  coinfliprv  30875
  Copyright terms: Public domain W3C validator