Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isringrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isringrng 42410
 Description: The predicate "is a unital ring" as extension of the predicate "is a non-unital ring". (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isringrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isringrng.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
isringrng (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Proof of Theorem isringrng
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringrng 42408 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2 isringrng.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 isringrng.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
42, 3ringideu 18786 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
5 reurex 3300 . . . 4 (∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
64, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
71, 6jca 555 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
8 rngabl 42406 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
9 ablgrp 18419 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
1110adantr 472 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Grp)
12 eqid 2761 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1312rngmgp 42407 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp)
1413anim1i 593 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
1512, 2mgpbas 18716 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1612, 3mgpplusg 18714 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
1715, 16ismnddef 17518 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
1814, 17sylibr 224 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
19 eqid 2761 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
202, 12, 19, 3isrng 42405 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ SGrp ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
2120simp3bi 1142 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
2221adantr 472 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
232, 12, 19, 3isring 18772 . . 3 (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
2411, 18, 22, 23syl3anbrc 1429 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
257, 24impbii 199 1 (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  ∃!wreu 3053  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  .rcmulr 16165  SGrpcsgrp 17505  Mndcmnd 17516  Grpcgrp 17644  Abelcabl 18415  mulGrpcmgp 18710  Ringcrg 18768  Rngcrng 42403 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-rng0 42404 This theorem is referenced by:  zlidlring  42457  uzlidlring  42458
 Copyright terms: Public domain W3C validator