Theorem isrhm2d 18930

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhm2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
isrhm2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		isrhmd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3	1, 2	jca 555	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
4		isrhm2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6	5	ringmgp 18753	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
9	8	ringmgp 18753	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10	2, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
11	7, 10	jca 555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd))
12		isrhmd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14	12, 13	ghmf 17865	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
16		isrhmd.ht	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
17	16	ralrimivva 3109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
18		isrhmd.ho	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
19		isrhmd.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
20	5, 19	ringidval 18703	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
21	20	fveq2i 6355	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅)))
22		isrhmd.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
23	8, 22	ringidval 18703	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
24	18, 21, 23	3eqtr3g 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
25	15, 17, 24	3jca 1123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
26	5, 12	mgpbas 18695	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	8, 13	mgpbas 18695	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
28		isrhmd.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	5, 28	mgpplusg 18693	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
30		isrhmd.u	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑆)
31	8, 30	mgpplusg 18693	. . . . 5 ⊢ × = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
32		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
33		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
34	26, 27, 29, 31, 32, 33	ismhm 17538	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
35	11, 25, 34	sylanbrc 701	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
36	4, 35	jca 555	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
37	5, 8	isrhm 18923	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
38	3, 36, 37	sylanbrc 701	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  ._rcmulr 16144  0_gc0g 16302  Mndcmnd 17495   MndHom cmhm 17534   GrpHom cghm 17858  mulGrpcmgp 18689  1_rcur 18701  Ringcrg 18747   RingHom crh 18914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mhm 17536  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-rnghom 18917

This theorem is referenced by:  isrhmd  18931  qusrhm  19439  asclrhm  19544  mulgrhm  20048  rhmopp  30128