MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrhm2d 18930
Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o 1 = (1r𝑅)
isrhmd.n 𝑁 = (1r𝑆)
isrhmd.t · = (.r𝑅)
isrhmd.u × = (.r𝑆)
isrhmd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s (𝜑𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
isrhm2d.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
isrhm2d (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d
StepHypRef Expression
1 isrhmd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 isrhmd.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
31, 2jca 555 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
4 isrhm2d.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5 eqid 2760 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
65ringmgp 18753 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8 eqid 2760 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
98ringmgp 18753 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
102, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
117, 10jca 555 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd))
12 isrhmd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
13 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1412, 13ghmf 17865 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
154, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
16 isrhmd.ht . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
1716ralrimivva 3109 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
18 isrhmd.ho . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
19 isrhmd.o . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
205, 19ringidval 18703 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
2120fveq2i 6355 . . . . . 6 (𝐹1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅)))
22 isrhmd.n . . . . . . 7 𝑁 = (1r𝑆)
238, 22ringidval 18703 . . . . . 6 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
2418, 21, 233eqtr3g 2817 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
2515, 17, 243jca 1123 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
265, 12mgpbas 18695 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
278, 13mgpbas 18695 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
28 isrhmd.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
295, 28mgpplusg 18693 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
30 isrhmd.u . . . . . 6 × = (.r𝑆)
318, 30mgpplusg 18693 . . . . 5 × = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
32 eqid 2760 . . . . 5 (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
33 eqid 2760 . . . . 5 (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
3426, 27, 29, 31, 32, 33ismhm 17538 . . . 4 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
3511, 25, 34sylanbrc 701 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
364, 35jca 555 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
375, 8isrhm 18923 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
383, 36, 37sylanbrc 701 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  0gc0g 16302  Mndcmnd 17495   MndHom cmhm 17534   GrpHom cghm 17858  mulGrpcmgp 18689  1rcur 18701  Ringcrg 18747   RingHom crh 18914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mhm 17536  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-rnghom 18917
This theorem is referenced by:  isrhmd  18931  qusrhm  19439  asclrhm  19544  mulgrhm  20048  rhmopp  30128
  Copyright terms: Public domain W3C validator