MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  israg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem israg 25813
Description: Property for 3 points A, B, C to form a right angle. Definition 8.1 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
Assertion
Ref Expression
israg (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))

Proof of Theorem israg
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
2 israg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
3 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
41, 2, 3s3cld 13826 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
5 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (♯‘𝑤) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
65eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((♯‘𝑤) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
7 fveq1 6331 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
8 fveq1 6331 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
97, 8oveq12d 6811 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
10 fveq1 6331 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
1110fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑆‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
1211, 8fveq12d 6338 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
137, 12oveq12d 6811 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
149, 13eqeq12d 2786 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
156, 14anbi12d 616 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
1615elrab3 3516 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
174, 16syl 17 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
18 df-rag 25810 . . . . 5 ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∟G = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
20 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → 𝑔 = 𝐺)
2120fveq2d 6336 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
22 israg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2321, 22syl6eqr 2823 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (Base‘𝑔) = 𝑃)
24 wrdeq 13523 . . . . . 6 ((Base‘𝑔) = 𝑃 → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → Word (Base‘𝑔) = Word 𝑃)
2620fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = (dist‘𝐺))
27 israg.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
2826, 27syl6eqr 2823 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (dist‘𝑔) = )
2928oveqd 6810 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) (𝑤‘2)))
30 eqidd 2772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (𝑤‘0) = (𝑤‘0))
3120fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
32 israg.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
3331, 32syl6eqr 2823 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
3433fveq1d 6334 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1)) = (𝑆‘(𝑤‘1)))
3534fveq1d 6334 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)) = ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))
3628, 30, 35oveq123d 6814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))
3729, 36eqeq12d 2786 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))) ↔ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))))
3837anbi2d 614 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2)))) ↔ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))))
3925, 38rabeqbidv 3345 . . . 4 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → {𝑤 ∈ Word (Base‘𝑔) ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(𝑤‘2)) = ((𝑤‘0)(dist‘𝑔)(((pInvG‘𝑔)‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
40 israg.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
4140elexd 3366 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
42 fvex 6342 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
4322, 42eqeltri 2846 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
44 wrdexg 13511 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → Word 𝑃 ∈ V)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6 Word 𝑃 ∈ V
4645rabex 4946 . . . . 5 {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))} ∈ V)
4819, 39, 41, 47fvmptd 6430 . . 3 (𝜑 → (∟G‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))})
4948eleq2d 2836 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑃 ∣ ((♯‘𝑤) = 3 ∧ ((𝑤‘0) (𝑤‘2)) = ((𝑤‘0) ((𝑆‘(𝑤‘1))‘(𝑤‘2))))}))
50 s3fv0 13845 . . . . . . 7 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
511, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
5251eqcomd 2777 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
53 s3fv2 13847 . . . . . . 7 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
543, 53syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
5554eqcomd 2777 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
5652, 55oveq12d 6811 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
57 s3fv1 13846 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
582, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
5958eqcomd 2777 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
6059fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
6160, 55fveq12d 6338 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐵)‘𝐶) = ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
6252, 61oveq12d 6811 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
6356, 62eqeq12d 2786 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))))
64 s3len 13848 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
6564a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
6665biantrurd 522 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6763, 66bitrd 268 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶)) ↔ ((♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ((𝑆‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))))
6817, 49, 673bitr4d 300 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐴 ((𝑆𝐵)‘𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139  2c2 11272  3c3 11273  chash 13321  Word cword 13487  ⟨“cs3 13796  Basecbs 16064  distcds 16158  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557  pInvGcmir 25768  ∟Gcrag 25809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-rag 25810
This theorem is referenced by:  ragcom  25814  ragcol  25815  ragmir  25816  mirrag  25817  ragtrivb  25818  ragflat2  25819  ragflat  25820  ragcgr  25823  footex  25834  colperpexlem1  25843  colperpexlem3  25845  mideulem2  25847  opphllem  25848  lmiisolem  25909  hypcgrlem1  25912  hypcgrlem2  25913  trgcopyeulem  25918
  Copyright terms: Public domain W3C validator