MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm7 15401
Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to 𝑃 in order to ensure primality. This version of isprm5 15400 combines the primality and bound on 𝑧 into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
isprm7 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm7
StepHypRef Expression
1 isprm5 15400 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
2 prmz 15370 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
32zred 11467 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
4 0red 10026 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ∈ ℝ)
5 1red 10040 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
6 0lt1 10535 . . . . . . . . . 10 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 1)
8 prmgt1 15390 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
94, 5, 3, 7, 8lttrd 10183 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 𝑧)
104, 3, 9ltled 10170 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
113, 10jca 554 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧))
12 eluzelre 11683 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
13 0red 10026 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℝ)
14 2re 11075 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
16 0le2 11096 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 2)
18 eluzle 11685 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
1913, 15, 12, 17, 18letrd 10179 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑃)
2012, 19jca 554 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃))
21 resqcl 12914 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22 sqge0 12923 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑧↑2))
2321, 22jca 554 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
25 sqrtle 13982 . . . . . . . 8 ((((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
2624, 25sylan 488 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
27 sqrtsq 13991 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → (√‘(𝑧↑2)) = 𝑧)
2827breq1d 4654 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
2928adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3026, 29bitrd 268 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3111, 20, 30syl2anr 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3231imbi1d 331 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3332ralbidva 2982 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3433pm5.32i 668 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
35 impexp 462 . . . . 5 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3612, 19resqrtcld 14137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
3736flcld 12582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ)
3837, 2anim12i 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
40 prmuz2 15389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
41 eluzle 11685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑧)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
4342ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 2 ≤ 𝑧)
44 flge 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
4536, 2, 44syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
4645biimpa 501 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
47 2z 11394 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
48 elfz4 12320 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
4947, 48mp3anl1 1416 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
5039, 43, 46, 49syl12anc 1322 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
5150anasss 678 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
52 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℙ)
5351, 52elind 3790 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ))
5453ex 450 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
55 elin 3788 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ))
56 elfzelz 12327 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℤ)
5756zred 11467 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℝ)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
59 reflcl 12580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6236adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
63 elfzle2 12330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
65 flle 12583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6858, 61, 62, 64, 67letrd 10179 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃))
6968ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
7069anim1d 587 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
7155, 70syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
72 ancom 466 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
7371, 72syl6ib 241 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))))
7454, 73impbid 202 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
7574imbi1d 331 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧𝑃)))
7635, 75syl5bbr 274 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧𝑃)))
7776ralbidv2 2981 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
7877pm5.32i 668 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
791, 34, 783bitri 286 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1988  wral 2909  cin 3566   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   < clt 10059  cle 10060  2c2 11055  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311  cfl 12574  cexp 12843  csqrt 13954  cdvds 14964  cprime 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-prm 15367
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  41252  31prm  41277
  Copyright terms: Public domain W3C validator