MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm6 15633
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 15632. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 15615 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2 euclemma 15632 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
323expb 1113 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
43biimpd 219 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
54ralrimivva 3120 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
61, 5jca 501 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
7 simpl 468 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2nn 11928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
98adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
109nnzd 11683 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
11 iddvds 15204 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃𝑃)
13 nncn 11230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
15 nncn 11230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
1615ad2antrl 707 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
17 nnne0 11255 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
1817ad2antrl 707 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
1914, 16, 18divcan1d 11004 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) = 𝑃)
2012, 19breqtrrd 4814 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
2120adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧𝑃)
23 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
24 nndivdvds 15198 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
259, 23, 24syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
2622, 25mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ)
2726nnzd 11683 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
28 nnz 11601 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
2928ad2antrl 707 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
3027, 29jca 501 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
31 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦))
3231breq2d 4798 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦)))
33 breq2 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃𝑥𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧)))
3433orbi1d 900 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃𝑥𝑃𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦)))
3532, 34imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦))))
36 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
3736breq2d 4798 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧)))
38 breq2 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃𝑦𝑃𝑧))
3938orbi2d 899 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4037, 39imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧))))
4135, 40rspc2va 3473 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4230, 41sylan 569 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧))
44 dvdsle 15241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4510, 26, 44syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4614div1d 10995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 1) = 𝑃)
4746breq1d 4796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4845, 47sylibrd 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
49 nnrp 12045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ+)
5049rpregt0d 12081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
5150ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
52 1rp 12039 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
53 rpregt0 12049 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
5452, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
55 nnrp 12045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
569, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
5756rpregt0d 12081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃))
58 lediv2 11115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
5951, 54, 57, 58syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
6048, 59sylibrd 249 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 ≤ 1))
61 nnle1eq1 11250 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6261ad2antrl 707 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6360, 62sylibd 229 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 = 1))
64 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
6564ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6665adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ0)
67 nnnn0 11501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
689, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
6968adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑃 ∈ ℕ0)
70 simplrr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧𝑃)
71 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑃𝑧)
72 dvdseq 15245 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑧𝑃𝑃𝑧)) → 𝑧 = 𝑃)
7366, 69, 70, 71, 72syl22anc 1477 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧 = 𝑃)
7473ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃𝑧𝑧 = 𝑃))
7563, 74orim12d 945 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
7675imp 393 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7743, 76syldan 579 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7877an32s 631 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7978expr 444 . . . 4 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
8079ralrimiva 3115 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
81 isprm2 15602 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
827, 80, 81sylanbrc 572 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∈ ℙ)
836, 82impbii 199 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 834   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  cdvds 15189  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  domnchr  20095
  Copyright terms: Public domain W3C validator