MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm3 15377
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm3
StepHypRef Expression
1 isprm2 15376 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2 iman 440 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
3 eluz2nn 11711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4 nnz 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
5 dvdsle 15013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
64, 5sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
7 nnge1 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑧)
87adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑧)
96, 8jctild 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
103, 9sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
11 zre 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
12 nnre 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
13 1re 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
14 leltne 10112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
1513, 14mp3an1 1409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
16153adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
17163expia 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑧 → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1)))
18 leltne 10112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))
19183expia 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑧𝑃 → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)))
2017, 19anim12d 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
2111, 12, 20syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
22 pm4.38 915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧)))
23 df-ne 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
24 nesym 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃𝑧 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑃)
2523, 24anbi12i 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
26 ioran 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
2725, 26bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
2822, 27syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2921, 28syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
304, 3, 29syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3110, 30syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3231imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
33 eluzelz 11682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
34 1z 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℤ
35 zltp1le 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
3634, 35mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
37 df-2 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
3837breq1i 4651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧)
3936, 38syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
41 zltlem1 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
4240, 41anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
43 peano2zm 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
44 2z 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
45 elfz 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4644, 45mp3an2 1410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4743, 46sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4842, 47bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
494, 33, 48syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5132, 50bitr3d 270 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5251anasss 678 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃)) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5352expcom 451 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 ∈ ℕ → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
5453pm5.32d 670 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
55 fzssuz 12367 . . . . . . . . . . . . 13 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘2)
56 2eluzge1 11719 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘1)
57 uzss 11693 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1)
5955, 58sstri 3604 . . . . . . . . . . . 12 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘1)
60 nnuz 11708 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
6159, 60sseqtr4i 3630 . . . . . . . . . . 11 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
6261sseli 3591 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
6362pm4.71ri 664 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6454, 63syl6bbr 278 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6564notbid 308 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
662, 65syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6766pm5.74da 722 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
68 bi2.04 376 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
69 con2b 349 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃))
7067, 68, 693bitr3g 302 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃)))
7170ralbidv2 2981 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
7271pm5.32i 668 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
731, 72bitri 264 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wss 3567   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  1c1 9922   + caddc 9924   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  cn 11005  2c2 11055  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311  cdvds 14964  cprime 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-prm 15367
This theorem is referenced by:  prmind2  15379  2prm  15386  3prm  15387  ncoprmlnprm  15417  wilth  24778  mersenne  24933  chtvalz  30681
  Copyright terms: Public domain W3C validator