MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isotr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isotr 6626
Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (𝐴, 𝐶))

Proof of Theorem isotr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐶)
2 simpl 472 . . . 4 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
3 f1oco 6197 . . . 4 ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐶𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶)
41, 2, 3syl2anr 494 . . 3 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → (𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶)
5 f1of 6175 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐴𝐵)
65ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝐻:𝐴𝐵)
7 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥𝐴)
86, 7ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
9 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
106, 9ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝐻𝑦) ∈ 𝐵)
11 simplrr 818 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))
12 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐻𝑥) → (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑥)𝑆𝑤))
13 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐻𝑥) → (𝐺𝑧) = (𝐺‘(𝐻𝑥)))
1413breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐻𝑥) → ((𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤)))
1512, 14bibi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐻𝑥) → ((𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)) ↔ ((𝐻𝑥)𝑆𝑤 ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤))))
16 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐻𝑦) → ((𝐻𝑥)𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))
17 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐻𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐺‘(𝐻𝑦)))
1817breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐻𝑦) → ((𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
1916, 18bibi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝐻𝑦) → (((𝐻𝑥)𝑆𝑤 ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤)) ↔ ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦)))))
2015, 19rspc2va 3354 . . . . . . . . . 10 ((((𝐻𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑦) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
218, 10, 11, 20syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
22 fvco3 6314 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐺𝐻)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐻𝑥)))
236, 7, 22syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐺𝐻)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐻𝑥)))
24 fvco3 6314 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:𝐴𝐵𝑦𝐴) → ((𝐺𝐻)‘𝑦) = (𝐺‘(𝐻𝑦)))
256, 9, 24syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐺𝐻)‘𝑦) = (𝐺‘(𝐻𝑦)))
2623, 25breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
2721, 26bitr4d 271 . . . . . . . 8 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦)))
2827bibi2d 331 . . . . . . 7 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
29282ralbidva 3017 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3029biimpd 219 . . . . 5 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3130impancom 455 . . . 4 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3231imp 444 . . 3 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦)))
334, 32jca 553 . 2 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → ((𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
34 df-isom 5935 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
35 df-isom 5935 . . 3 (𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶) ↔ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))))
3634, 35anbi12i 733 . 2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))))
37 df-isom 5935 . 2 ((𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (𝐴, 𝐶) ↔ ((𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3833, 36, 373imtr4i 281 1 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (𝐴, 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941   class class class wbr 4685  ccom 5147  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935
This theorem is referenced by:  weisoeq  6645  oieu  8485  fz1isolem  13283  erdsze2lem2  31312  fzisoeu  39828
  Copyright terms: Public domain W3C validator