MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isose Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isose 6756
Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isose (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))

Proof of Theorem isose
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 isof1o 6736 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
3 f1ofun 6300 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐻)
4 vex 3343 . . . . 5 𝑥 ∈ V
54funimaex 6137 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
62, 3, 53syl 18 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
71, 6isoselem 6754 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))
8 isocnv 6743 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
9 isof1o 6736 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
10 f1ofun 6300 . . . 4 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 → Fun 𝐻)
114funimaex 6137 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
128, 9, 10, 114syl 19 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
138, 12isoselem 6754 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Se 𝐵𝑅 Se 𝐴))
147, 13impbid 202 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2139  Vcvv 3340   Se wse 5223  ccnv 5265  cima 5269  Fun wfun 6043  1-1-ontowf1o 6048   Isom wiso 6050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-se 5226  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator