MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isopn3i 21059
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝐽)
2 elssuni 4607 . . 3 (𝑆𝐽𝑆 𝐽)
3 eqid 2748 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43isopn3 21043 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
52, 4sylan2 492 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
61, 5mpbid 222 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wss 3703   cuni 4576  cfv 6037  Topctop 20871  intcnt 20994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-top 20872  df-ntr 20997
This theorem is referenced by:  maxlp  21124  cnntr  21252  bcth2  23298  dvrec  23888  dvmptres  23896  dvcnvlem  23909  dvlip  23926  dvlipcn  23927  dvlip2  23928  dvne0  23944  lhop2  23948  lhop  23949  psercn  24350  dvlog  24567  dvlog2  24569  cxpcn3  24659  efrlim  24866  lgamgulmlem2  24926  cvmlift2lem11  31573  cvmlift2lem12  31574  binomcxplemdvbinom  39023  binomcxplemnotnn0  39026  limciccioolb  40325  limcicciooub  40341  limcresiooub  40346  limcresioolb  40347  dirkercncflem2  40793  fourierdlem32  40828  fourierdlem33  40829  fourierdlem48  40843  fourierdlem49  40844  fourierdlem62  40857  fouriersw  40920
  Copyright terms: Public domain W3C validator