Theorem isnzr2 19477

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2𝑜 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2770	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 19473	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 18775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	4, 2	ring0cl 18776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simpr 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10		df-ne 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11		neeq1 3004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
12	10, 11	syl5bbr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
13		neeq2 3005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
14	12, 13	rspc2ev 3472	. . . . . . . 8 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
16	15	ex 397	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
17	4, 1, 2	ring1eq0 18797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	3expb 1112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	necon3bd 2956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rexlimdvva 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
21	16, 20	impbid 202	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
22		fvex 6342	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
23	4, 22	eqeltri 2845	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
24		1sdom 8318	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (1𝑜 ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
26	21, 25	syl6bbr 278	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 1𝑜 ≺ 𝐵))
27		1onn 7872	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
28		sucdom 8312	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → (1𝑜 ≺ 𝐵 ↔ suc 1𝑜 ≼ 𝐵))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐵 ↔ suc 1𝑜 ≼ 𝐵)
30		df-2o 7713	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
31	30	breq1i 4791	. . . . 5 ⊢ (2𝑜 ≼ 𝐵 ↔ suc 1𝑜 ≼ 𝐵)
32	29, 31	bitr4i 267	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐵 ↔ 2𝑜 ≼ 𝐵)
33	26, 32	syl6bb 276	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 2𝑜 ≼ 𝐵))
34	33	pm5.32i 556	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2𝑜 ≼ 𝐵))
35	3, 34	bitri 264	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2𝑜 ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∃wrex 3061  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  suc csuc 5868  ‘cfv 6031  ωcom 7211  1_𝑜c1o 7705  2_𝑜c2o 7706   ≼ cdom 8106   ≺ csdm 8107  Basecbs 16063  0_gc0g 16307  1_rcur 18708  Ringcrg 18754  NzRingcnzr 19471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-nzr 19472

This theorem is referenced by:  opprnzr  19479  znfld  20123  znidomb  20124