MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnumi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnumi 8972
Description: A set equinumerous to an ordinal is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isnumi ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem isnumi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4789 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐵𝐴𝐵))
21rspcev 3460 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
3 isnum2 8971 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝑥𝐵)
42, 3sylibr 224 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  Oncon0 5866  cen 8106  cardccrd 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-en 8110  df-card 8965
This theorem is referenced by:  finnum  8974  onenon  8975  tskwe  8976  xpnum  8977  isnum3  8980  dfac8alem  9052  cdanum  9223  fin67  9419  isfin7-2  9420  gch2  9699  gchacg  9704  znnen  15147  qnnen  15148  met1stc  22546  re2ndc  22824  uniiccdif  23566  dyadmbl  23588  opnmblALT  23591  mbfimaopnlem  23642  aannenlem3  24305  poimirlem32  33774
  Copyright terms: Public domain W3C validator