MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnei 21128
Description: The predicate "𝑁 is a neighborhood of 𝑆." (Contributed by FL, 25-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
neifval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
isnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isnei
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neifval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21neival 21127 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((nei‘𝐽)‘𝑆) = {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)})
32eleq2d 2836 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)}))
4 sseq2 3776 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑁 → (𝑔𝑣𝑔𝑁))
54anbi2d 614 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑁 → ((𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
65rexbidv 3200 . . . . 5 (𝑣 = 𝑁 → (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣) ↔ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
76elrab 3515 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
81topopn 20931 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
9 elpw2g 4958 . . . . . 6 (𝑋𝐽 → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋𝑁𝑋))
1110anbi1d 615 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
127, 11syl5bb 272 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1312adantr 466 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑣)} ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
143, 13bitrd 268 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723  𝒫 cpw 4297   cuni 4574  cfv 6031  Topctop 20918  neicnei 21122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-top 20919  df-nei 21123
This theorem is referenced by:  neiint  21129  isneip  21130  neii1  21131  neii2  21133  neiss  21134  neips  21138  opnneissb  21139  opnssneib  21140  ssnei2  21141  innei  21150  neitr  21205  neitx  21631  neifg  32703  islptre  40369
  Copyright terms: Public domain W3C validator