Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtyres 33737
 Description: A restriction of an isometry is an isometry. The condition 𝐴 ⊆ 𝑋 is not necessary but makes the proof easier. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyres.2 𝐵 = (𝐹𝐴)
ismtyres.3 𝑆 = (𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))
ismtyres.4 𝑇 = (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))
Assertion
Ref Expression
ismtyres (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇))

Proof of Theorem ismtyres
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 33730 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
21simprbda 652 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
32adantrr 753 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
4 f1of1 6174 . . . 4 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
53, 4syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
6 simprr 811 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐴𝑋)
7 f1ores 6189 . . 3 ((𝐹:𝑋1-1𝑌𝐴𝑋) → (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴))
85, 6, 7syl2anc 694 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴))
91biimpa 500 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
109adantrr 753 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
11 ssel 3630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝑢𝐴𝑢𝑋))
12 ssel 3630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝑣𝐴𝑣𝑋))
1311, 12anim12d 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑋 → ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢𝑋𝑣𝑋)))
1413imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑋𝑣𝑋))
15 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑢𝑀𝑦))
16 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑢))
1716oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦)))
1815, 17eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) ↔ (𝑢𝑀𝑦) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦))))
19 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 → (𝑢𝑀𝑦) = (𝑢𝑀𝑣))
20 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑣))
2120oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2219, 21eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢𝑀𝑦) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑦)) ↔ (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣))))
2318, 22rspc2v 3353 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝑋𝑣𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣))))
2414, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣))))
2524imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2625an32s 863 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2726adantlrl 756 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
2827adantlll 754 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑀𝑣) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
29 ismtyres.3 . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))
3029oveqi 6703 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆𝑣) = (𝑢(𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑣)
31 ovres 6842 . . . . . . . 8 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢(𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑣) = (𝑢𝑀𝑣))
3230, 31syl5eq 2697 . . . . . . 7 ((𝑢𝐴𝑣𝐴) → (𝑢𝑆𝑣) = (𝑢𝑀𝑣))
3332adantl 481 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑆𝑣) = (𝑢𝑀𝑣))
34 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝑢𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
3534ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
36 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑣) = (𝐹𝑣))
3736ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝑣) = (𝐹𝑣))
3835, 37oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑇(𝐹𝑣)))
39 ismtyres.4 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))
4039oveqi 6703 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑢)𝑇(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)(𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝐹𝑣))
41 f1ofun 6177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → Fun 𝐹)
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → Fun 𝐹)
43 f1odm 6179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
4443sseq2d 3666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐴 ⊆ dom 𝐹𝐴𝑋))
4544biimparc 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
46 funfvima2 6533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑢𝐴 → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹𝐴)))
4742, 45, 46syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑢𝐴 → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹𝐴)))
4847imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑢𝐴) → (𝐹𝑢) ∈ (𝐹𝐴))
49 ismtyres.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (𝐹𝐴)
5048, 49syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑢𝐴) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐵)
5150adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐵)
52 funfvima2 6533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑣𝐴 → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹𝐴)))
5342, 45, 52syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑣𝐴 → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹𝐴)))
5453imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ (𝐹𝐴))
5554, 49syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
5655adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
5751, 56ovresd 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝑢)(𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
5840, 57syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → ((𝐹𝑢)𝑇(𝐹𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
5938, 58eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑋𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
6059adantlrr 757 . . . . . . 7 (((𝐴𝑋 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
6160adantlll 754 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)) = ((𝐹𝑢)𝑁(𝐹𝑣)))
6228, 33, 613eqtr4d 2695 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
6362ralrimivva 3000 . . . 4 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
6463adantlrl 756 . . 3 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
6510, 64mpdan 703 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))
66 xmetres2 22213 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑀 ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
6729, 66syl5eqel 2734 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 ∈ (∞Met‘𝐴))
6867ad2ant2rl 800 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑆 ∈ (∞Met‘𝐴))
69 simplr 807 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
70 imassrn 5512 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
7149, 70eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ ran 𝐹
72 f1ofo 6182 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
73 forn 6156 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
743, 72, 733syl 18 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → ran 𝐹 = 𝑌)
7571, 74syl5sseq 3686 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝐵𝑌)
76 xmetres2 22213 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌) → (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
7769, 75, 76syl2anc 694 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝑁 ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
7839, 77syl5eqel 2734 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑇 ∈ (∞Met‘𝐵))
7949fveq2i 6232 . . . 4 (∞Met‘𝐵) = (∞Met‘(𝐹𝐴))
8078, 79syl6eleq 2740 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → 𝑇 ∈ (∞Met‘(𝐹𝐴)))
81 isismty 33730 . . 3 ((𝑆 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝑇 ∈ (∞Met‘(𝐹𝐴))) → ((𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴) ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))))
8268, 80, 81syl2anc 694 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴) ∧ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴 (𝑢𝑆𝑣) = (((𝐹𝐴)‘𝑢)𝑇((𝐹𝐴)‘𝑣)))))
838, 65, 82mpbir2and 977 1 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ∧ 𝐴𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ (𝑆 Ismty 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Fun wfun 5920  –1-1→wf1 5923  –onto→wfo 5924  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ∞Metcxmt 19779   Ismty cismty 33727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-xr 10116  df-xmet 19787  df-ismty 33728 This theorem is referenced by:  reheibor  33768
 Copyright terms: Public domain W3C validator