Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtyhmeolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismtyhmeolem 33733
Description: Lemma for ismtyhmeo 33734. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismtyhmeo.1 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
ismtyhmeo.2 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
ismtyhmeolem.3 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
ismtyhmeolem.4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
ismtyhmeolem.5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ismtyhmeolem (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem ismtyhmeolem
Dummy variables 𝑢 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyhmeolem.5 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁))
2 ismtyhmeolem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 ismtyhmeolem.4 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
4 isismty 33730 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
52, 3, 4syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦)))))
61, 5mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) = ((𝐹𝑥)𝑁(𝐹𝑦))))
76simpld 474 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
8 f1of 6175 . . 3 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
103adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
112adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 ismtycnv 33731 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
132, 3, 12syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑀 Ismty 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)))
141, 13mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀))
16 simprl 809 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑤𝑌)
17 simprr 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
18 ismtyima 33732 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑁 Ismty 𝑀)) ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
1910, 11, 15, 16, 17, 18syl32anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) = ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟))
20 f1ocnv 6187 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
21 f1of 6175 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
227, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
23 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑤𝑌)
24 ffvelrn 6397 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑌𝑋𝑤𝑌) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑋)
2522, 23, 24syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑋)
26 ismtyhmeo.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝑀)
2726blopn 22352 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
2811, 25, 17, 27syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → ((𝐹𝑤)(ball‘𝑀)𝑟) ∈ 𝐽)
2919, 28eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
3029ralrimivva 3000 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ* (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
31 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩))
32 df-ov 6693 . . . . . . . 8 (𝑤(ball‘𝑁)𝑟) = ((ball‘𝑁)‘⟨𝑤, 𝑟⟩)
3331, 32syl6eqr 2703 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((ball‘𝑁)‘𝑧) = (𝑤(ball‘𝑁)𝑟))
3433imaeq2d 5501 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → (𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) = (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)))
3534eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑤, 𝑟⟩ → ((𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽))
3635ralxp 5296 . . . 4 (∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑤𝑌𝑟 ∈ ℝ* (𝐹 “ (𝑤(ball‘𝑁)𝑟)) ∈ 𝐽)
3730, 36sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽)
38 blf 22259 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌)
39 ffn 6083 . . . 4 ((ball‘𝑁):(𝑌 × ℝ*)⟶𝒫 𝑌 → (ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*))
40 imaeq2 5497 . . . . . 6 (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → (𝐹𝑢) = (𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)))
4140eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑢 = ((ball‘𝑁)‘𝑧) → ((𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
4241ralrn 6402 . . . 4 ((ball‘𝑁) Fn (𝑌 × ℝ*) → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
433, 38, 39, 424syl 19 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑌 × ℝ*)(𝐹 “ ((ball‘𝑁)‘𝑧)) ∈ 𝐽))
4437, 43mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
4526mopntopon 22291 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
462, 45syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
47 ismtyhmeo.2 . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘𝑁)
4847mopnval 22290 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
493, 48syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 = (topGen‘ran (ball‘𝑁)))
5047mopntopon 22291 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
513, 50syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5246, 49, 51tgcn 21104 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ ran (ball‘𝑁)(𝐹𝑢) ∈ 𝐽)))
539, 44, 52mpbir2and 977 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  𝒫 cpw 4191  cop 4216   × cxp 5141  ccnv 5142  ran crn 5144  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  *cxr 10111  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   Ismty cismty 33727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cn 21079  df-ismty 33728
This theorem is referenced by:  ismtyhmeo  33734
  Copyright terms: Public domain W3C validator