MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismre 16457
Description: Property of being a Moore collection on some base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismre (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismre
Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6362 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2 elex 3361 . . 3 (𝑋𝐶𝑋 ∈ V)
323ad2ant2 1127 . 2 ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) → 𝑋 ∈ V)
4 pweq 4298 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝑋)
54pweqd 4300 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → 𝒫 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝒫 𝑋)
6 eleq1 2837 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑐𝑋𝑐))
76anbi1d 607 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐)) ↔ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))))
85, 7rabeqbidv 3344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
9 df-mre 16453 . . . . 5 Moore = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
10 vpwex 4977 . . . . . . 7 𝒫 𝑥 ∈ V
1110pwex 4976 . . . . . 6 𝒫 𝒫 𝑥 ∈ V
1211rabex 4943 . . . . 5 {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑥 ∣ (𝑥𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ∈ V
138, 9, 12fvmpt3i 6429 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (Moore‘𝑋) = {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))})
1413eleq2d 2835 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ 𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))}))
15 eleq2 2838 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑋𝑐𝑋𝐶))
16 pweq 4298 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
17 eleq2 2838 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → ( 𝑠𝑐 𝑠𝐶))
1817imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
1916, 18raleqbidv 3300 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
2015, 19anbi12d 608 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐)) ↔ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2120elrab 3513 . . . 4 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2221a1i 11 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑐 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑐(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝑐))} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))))
23 pwexg 4978 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → 𝒫 𝑋 ∈ V)
24 elpw2g 4955 . . . . . 6 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋))
2625anbi1d 607 . . . 4 (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))))
27 3anass 1079 . . . 4 ((𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2826, 27syl6bbr 278 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((𝐶 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
2914, 22, 283bitrd 294 . 2 (𝑋 ∈ V → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))))
301, 3, 29pm5.21nii 367 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  {crab 3064  Vcvv 3349  wss 3721  c0 4061  𝒫 cpw 4295   cint 4609  cfv 6031  Moorecmre 16449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-mre 16453
This theorem is referenced by:  mresspw  16459  mre1cl  16461  mreintcl  16462  ismred  16469
  Copyright terms: Public domain W3C validator