MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismidb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismidb 25890
Description: Property of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1 (𝜑𝐴𝑃)
midcl.2 (𝜑𝐵𝑃)
ismidb.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
ismidb.m (𝜑𝑀𝑃)
Assertion
Ref Expression
ismidb (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆𝑀)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀))

Proof of Theorem ismidb
Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismidb.m . . 3 (𝜑𝑀𝑃)
2 ismid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ismid.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 ismid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 eqid 2760 . . . 4 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
6 ismid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 ismidb.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 midcl.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
9 midcl.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
10 ismid.1 . . . 4 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mideu 25850 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴))
12 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝑆𝑚) = (𝑆𝑀))
1312fveq1d 6355 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑆𝑚)‘𝐴) = ((𝑆𝑀)‘𝐴))
1413eqeq2d 2770 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆𝑀)‘𝐴)))
1514riota2 6797 . . 3 ((𝑀𝑃 ∧ ∃!𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴)) → (𝐵 = ((𝑆𝑀)‘𝐴) ↔ (𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
161, 11, 15syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆𝑀)‘𝐴) ↔ (𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
17 df-mid 25886 . . . . . 6 midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)))))
19 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
2019, 2syl6eqr 2812 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
21 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
2221, 7syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = 𝑆)
2322fveq1d 6355 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = (𝑆𝑚))
2423fveq1d 6355 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = ((𝑆𝑚)‘𝑎))
2524eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑆𝑚)‘𝑎)))
2620, 25riotaeqbidv 6778 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (𝑚𝑃 𝑏 = ((𝑆𝑚)‘𝑎)))
2720, 20, 26mpt2eq123dv 6883 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = ((𝑆𝑚)‘𝑎))))
2827adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = ((𝑆𝑚)‘𝑎))))
29 elex 3352 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
306, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ V)
31 fvex 6363 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
322, 31eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
3332, 32mpt2ex 7416 . . . . . 6 (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = ((𝑆𝑚)‘𝑎))) ∈ V
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = ((𝑆𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
3518, 28, 30, 34fvmptd 6451 . . . 4 (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = ((𝑆𝑚)‘𝑎))))
36 simprr 813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵)) → 𝑏 = 𝐵)
37 simprl 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵)) → 𝑎 = 𝐴)
3837fveq2d 6357 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵)) → ((𝑆𝑚)‘𝑎) = ((𝑆𝑚)‘𝐴))
3936, 38eqeq12d 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵)) → (𝑏 = ((𝑆𝑚)‘𝑎) ↔ 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴)))
4039riotabidv 6777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴𝑏 = 𝐵)) → (𝑚𝑃 𝑏 = ((𝑆𝑚)‘𝑎)) = (𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴)))
41 riotacl 6789 . . . . 5 (∃!𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴) → (𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴)) ∈ 𝑃)
4211, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴)) ∈ 𝑃)
4335, 40, 8, 9, 42ovmpt2d 6954 . . 3 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴)))
4443eqeq1d 2762 . 2 (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑚𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑚)‘𝐴)) = 𝑀))
4516, 44bitr4d 271 1 (𝜑 → (𝐵 = ((𝑆𝑀)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  ∃!wreu 3052  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  crio 6774  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  2c2 11282  Basecbs 16079  distcds 16172  TarskiGcstrkg 25549  DimTarskiGcstrkgld 25553  Itvcitv 25555  LineGclng 25556  pInvGcmir 25767  midGcmid 25884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-s2 13813  df-s3 13814  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkgld 25571  df-trkg 25572  df-cgrg 25626  df-leg 25698  df-mir 25768  df-rag 25809  df-perpg 25811  df-mid 25886
This theorem is referenced by:  midbtwn  25891  midcgr  25892  midcom  25894  mirmid  25895  lmieu  25896  lmimid  25906  lmiisolem  25908  hypcgrlem1  25911  hypcgrlem2  25912  hypcgr  25913  trgcopyeulem  25917
  Copyright terms: Public domain W3C validator