Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssfg 38111
 Description: Property of a finitely generated left (sub-)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
islssfg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islssfg ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islssfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 islssfg.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19110 . . . . . 6 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4 islssfg.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
54, 1ressbas2 16104 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝑈𝑆𝑈 = (Base‘𝑋))
76pweqd 4295 . . . 4 (𝑈𝑆 → 𝒫 𝑈 = 𝒫 (Base‘𝑋))
87rexeqdv 3272 . . 3 (𝑈𝑆 → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
98adantl 473 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
10 elpwi 4300 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏𝑈)
11 islssfg.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12 eqid 2748 . . . . . . . 8 (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
134, 11, 12, 2lsslsp 19188 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑏𝑈) → (𝑁𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
14133expa 1111 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏𝑈) → (𝑁𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
1510, 14sylan2 492 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → (𝑁𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
166ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1715, 16eqeq12d 2763 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑁𝑏) = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)))
1817anbi2d 742 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
1918rexbidva 3175 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
204, 2lsslmod 19133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
21 eqid 2748 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2221, 12islmodfg 38110 . . 3 (𝑋 ∈ LMod → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
2320, 22syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
249, 19, 233bitr4rd 301 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ∃wrex 3039   ⊆ wss 3703  𝒫 cpw 4290  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  Basecbs 16030   ↾s cress 16031  LModclmod 19036  LSubSpclss 19105  LSpanclspn 19144  LFinGenclfig 38108 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-lfig 38109 This theorem is referenced by:  islssfg2  38112  lmhmfgsplit  38127
 Copyright terms: Public domain W3C validator