Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssd 18984
 Description: Properties that determine a subspace of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssd.f (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
islssd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
islssd.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
islssd.p (𝜑+ = (+g𝑊))
islssd.t (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
islssd.s (𝜑𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
islssd.u (𝜑𝑈𝑉)
islssd.z (𝜑𝑈 ≠ ∅)
islssd.c ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
islssd (𝜑𝑈𝑆)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islssd
StepHypRef Expression
1 islssd.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
2 islssd.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
31, 2sseqtrd 3674 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4 islssd.z . . 3 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
5 islssd.c . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
653exp2 1307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (𝑎𝑈 → (𝑏𝑈 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))))
76imp43 620 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑎𝑈𝑏𝑈)) → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
87ralrimivva 3000 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
98ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵 → ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
10 islssd.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
11 islssd.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
1211fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1310, 12eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1413eleq2d 2716 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
15 islssd.p . . . . . . . . 9 (𝜑+ = (+g𝑊))
1615oveqd 6707 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏))
17 islssd.t . . . . . . . . . 10 (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
1817oveqd 6707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎))
1918oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏))
2016, 19eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏))
2120eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
22212ralbidv 3018 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
239, 14, 223imtr3d 282 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
2423ralrimiv 2994 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈)
25 eqid 2651 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26 eqid 2651 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
27 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
28 eqid 2651 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
29 eqid 2651 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
30 eqid 2651 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3125, 26, 27, 28, 29, 30islss 18983 . . 3 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑈))
323, 4, 24, 31syl3anbrc 1265 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
33 islssd.s . 2 (𝜑𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
3432, 33eleqtrrd 2733 1 (𝜑𝑈𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  LSubSpclss 18980 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-lss 18981 This theorem is referenced by:  lss1  18987  lsssn0  18996  islss3  19007  lss1d  19011  lssintcl  19012  lspsolvlem  19190  lbsextlem2  19207  mpllsslem  19483  scmatlss  20379  dialss  36652  diblss  36776  diclss  36799  lincolss  42548
 Copyright terms: Public domain W3C validator