MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss 19157
Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssset.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssset.p + = (+g𝑊)
lssset.t · = ( ·𝑠𝑊)
lssset.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑎,𝑏,𝑥,𝑊   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islss
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6383 . . 3 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2 lssset.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2eleq2s 2857 . 2 (𝑈𝑆𝑊 ∈ V)
4 lssset.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 fvprc 6347 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
64, 5syl5eq 2806 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → 𝑉 = ∅)
76sseq2d 3774 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (𝑈𝑉𝑈 ⊆ ∅))
87biimpcd 239 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 ⊆ ∅))
9 ss0 4117 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ ∅ → 𝑈 = ∅)
108, 9syl6 35 . . . . 5 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 = ∅))
1110necon1ad 2949 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V))
1211imp 444 . . 3 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ V)
13123adant3 1127 . 2 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ V)
14 lssset.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 lssset.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
16 lssset.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
17 lssset.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 19156 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠})
1918eleq2d 2825 . . 3 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20 eldifsn 4462 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅))
21 fvex 6363 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) ∈ V
224, 21eqeltri 2835 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
2322elpw2 4977 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈𝑉)
2423anbi1i 733 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2520, 24bitri 264 . . . . 5 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2625anbi1i 733 . . . 4 ((𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
27 eleq2 2828 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑈 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2827raleqbi1dv 3285 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2928raleqbi1dv 3285 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3029ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3130elrab 3504 . . . 4 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
32 df-3an 1074 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3326, 31, 323bitr4i 292 . . 3 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3419, 33syl6bb 276 . 2 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
353, 13, 34pm5.21nii 367 1 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  LSubSpclss 19154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6817  df-lss 19155
This theorem is referenced by:  islssd  19158  lssss  19159  lssn0  19163  lsscl  19165  islss4  19184  lsspropd  19239  islidl  19433  ocvlss  20238  lkrlss  34903  lclkr  37342  lclkrs  37348  lcfr  37394
  Copyright terms: Public domain W3C validator