Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpsm 34788
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpsm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpsm.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islshpsm.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpsm.p = (LSSum‘𝑊)
islshpsm.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpsm.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpsm (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉   𝑣,𝑊   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   (𝑣)   𝐻(𝑣)   𝑁(𝑣)

Proof of Theorem islshpsm
StepHypRef Expression
1 islshpsm.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 islshpsm.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 islshpsm.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 islshpsm.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5 islshpsm.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
62, 3, 4, 5islshp 34787 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
71, 6syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
81ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simplrl 819 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑈𝑆)
104, 3lspid 19204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
118, 9, 10syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
1211uneq1d 3909 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣})))
1312fveq2d 6357 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
142, 4lssss 19159 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑈𝑉)
16 snssi 4484 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑉 → {𝑣} ⊆ 𝑉)
1716adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → {𝑣} ⊆ 𝑉)
182, 3lspun 19209 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉 ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
198, 15, 17, 18syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
202, 4, 3lspcl 19198 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
218, 17, 20syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆)
22 islshpsm.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
234, 3, 22lsmsp 19308 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑣}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
248, 9, 21, 23syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑣}))))
2513, 19, 243eqtr4rd 2805 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})))
2625eqeq1d 2762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
2726rexbidva 3187 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → (∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
2827pm5.32da 676 . . . 4 (𝜑 → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
2928bicomd 213 . . 3 (𝜑 → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
30 df-3an 1074 . . 3 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
31 df-3an 1074 . . 3 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
3229, 30, 313bitr4g 303 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
337, 32bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  cun 3713  wss 3715  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  LSSumclsm 18269  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  LSHypclsh 34783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lshyp 34785
This theorem is referenced by:  lshpnelb  34792  lshpcmp  34796  islshpat  34825  lshpkrex  34926  dochshpncl  37193
  Copyright terms: Public domain W3C validator