Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islshpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islshpat 34622
Description: Hyperplane properties expressed with subspace sum and an atom. TODO: can proof be shortened? Seems long for a simple variation of islshpsm 34585. (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islshpat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islshpat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islshpat.p = (LSSum‘𝑊)
islshpat.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
islshpat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
islshpat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
islshpat (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Distinct variable groups:   ,𝑞   𝑆,𝑞   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑊,𝑞   𝜑,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑞)   𝐻(𝑞)

Proof of Theorem islshpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islshpat.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2651 . . 3 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3 islshpat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 islshpat.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
5 islshpat.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 islshpat.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
71, 2, 3, 4, 5, 6islshpsm 34585 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
8 df-3an 1056 . . . . 5 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
9 r19.42v 3121 . . . . 5 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
108, 9bitr4i 267 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
11 df-rex 2947 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑣 = (0g𝑊))
1312sneqd 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → {𝑣} = {(0g𝑊)})
1413fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}))
156ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1716, 2lspsn0 19056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
1914, 18eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = {(0g𝑊)})
2019oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = (𝑈 {(0g𝑊)}))
21 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
223lsssubg 19005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2315, 21, 22syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2416, 4lsm01 18130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 {(0g𝑊)}) = 𝑈)
2620, 25eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑈)
27 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → 𝑈𝑉)
2826, 27eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) ∧ 𝑣 = (0g𝑊)) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉)
2928ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → (𝑣 = (0g𝑊) → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ≠ 𝑉))
3029necon2d 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3130pm4.71rd 668 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ (𝑈𝑆𝑈𝑉)) → ((𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3231pm5.32da 674 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3332pm5.32da 674 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))))
34 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ↔ (𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)))
3534anbi1i 731 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
36 anass 682 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
37 an12 855 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3837anbi2i 730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣𝑉 ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
3936, 38bitri 264 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣𝑉𝑣 ≠ (0g𝑊)) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4035, 39bitr2i 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑣 ≠ (0g𝑊) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4133, 40syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4241exbidv 1890 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
4311, 42syl5bb 272 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
44 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∈ V
4544rexcom4b 3258 . . . . . . . . 9 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
46 df-rex 2947 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4745, 46bitr2i 265 . . . . . . . 8 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
48 ancom 465 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
4948rexbii 3070 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5049exbii 1814 . . . . . . . 8 (∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ∧ 𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5147, 50bitri 264 . . . . . . 7 (∃𝑣(𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5243, 51syl6bb 276 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))))
53 r19.41v 3118 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
54 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 𝑞) = (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
5554eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 𝑞) = 𝑉 ↔ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
5655anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5756pm5.32i 670 . . . . . . . . 9 ((𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5857rexbii 3070 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
5953, 58bitr3i 266 . . . . . . 7 ((∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6059exbii 1814 . . . . . 6 (∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})(𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
6152, 60syl6bbr 278 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
62 islshpat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
631, 2, 16, 62islsat 34596 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
646, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑞𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
6564anbi1d 741 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6665exbidv 1890 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ ∃𝑞(∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑞 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6761, 66bitr4d 271 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑣𝑉 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
6810, 67syl5bb 272 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉))))
69 df-3an 1056 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
70 r19.42v 3121 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
71 df-rex 2947 . . . . 5 (∃𝑞𝐴 ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7270, 71bitr3i 266 . . . 4 (((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉) ↔ ∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
7369, 72bitr2i 265 . . 3 (∃𝑞(𝑞𝐴 ∧ ((𝑈𝑆𝑈𝑉) ∧ (𝑈 𝑞) = 𝑉)) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉))
7468, 73syl6bb 276 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
757, 74bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑈 𝑞) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cdif 3604  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  0gc0g 16147  SubGrpcsubg 17635  LSSumclsm 18095  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LSAtomsclsa 34579  LSHypclsh 34580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582
This theorem is referenced by:  islshpcv  34658
  Copyright terms: Public domain W3C validator