Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islptre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islptre 40169
Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islptre.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
islptre.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
islptre.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
islptre (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐽,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islptre
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islptre.1 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 retopon 22614 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31, 2eqeltri 2726 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
43topontopi 20768 . . . 4 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 islptre.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 islptre.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
83toponunii 20769 . . . 4 ℝ = 𝐽
98islp2 20997 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
105, 6, 7, 9syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
11 simp1r 1106 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
12 iooretop 22616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
1312, 1eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . 11 (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽)
15 snssi 4371 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
1615adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
17 ssid 3657 . . . . . . . . . . 11 (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
19 sseq2 3660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → ({𝐵} ⊆ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
20 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
2119, 20anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
2221rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
2314, 16, 18, 22syl12anc 1364 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
24 ioossre 12273 . . . . . . . . 9 (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
2523, 24jctil 559 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
26 elioore 12243 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ)
2726snssd 4372 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ ℝ)
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
298isnei 20955 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
304, 28, 29sylancr 696 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
3125, 30mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
32313adant1 1099 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
33 ineq1 3840 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
3433neeq1d 2882 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
3534rspccva 3339 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
3611, 32, 35syl2anc 694 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
37363exp 1283 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
3837ralrimivv 2999 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
397snssd 4372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
408isnei 20955 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛))))
414, 39, 40sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛))))
4241simplbda 653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛))
431eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝐽𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
4443biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐽𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
45443ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
46 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) → 𝜑)
47 simp3l 1109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
497adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 snssg 4347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → (𝐵𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
5248, 51mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵𝑣)
5346, 47, 52syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) → 𝐵𝑣)
5445, 53jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) → (𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵𝑣))
55 tg2 20817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵𝑣) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵𝑢𝑢𝑣))
56 ioof 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
57 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
58 ovelrn 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)))
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
6059biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ran (,) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵𝑢𝑢𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
62 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐵𝑢𝑢𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵𝑢)
63 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐵𝑢𝑢𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
6462, 63eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵𝑢𝑢𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
65 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐵𝑢𝑢𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢𝑣)
6663, 65eqsstr3d 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵𝑢𝑢𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
6764, 66jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝑢𝑢𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
6867ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵𝑢𝑢𝑣) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵𝑢𝑢𝑣)) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
7069reximdv 3045 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵𝑢𝑢𝑣)) → (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
7170reximdv 3045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵𝑢𝑢𝑣)) → (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
7261, 71mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵𝑢𝑢𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
7372rexlimiva 3057 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵𝑢𝑢𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
7454, 55, 733syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
75 simpl3r 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → 𝑣𝑛)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → 𝑣𝑛)
77 sstr 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣𝑣𝑛) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
7877expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑛 → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
7976, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
8079anim2d 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
8180reximdva 3046 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
8281reximdva 3046 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
8374, 82mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
84833exp 1283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑣𝐽 → (({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))))
8584rexlimdv 3059 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
8685adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑣𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣𝑣𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
8742, 86mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
8887adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
89 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑎𝜑
90 nfra1 2970 . . . . . . . 8 𝑎𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
9189, 90nfan 1868 . . . . . . 7 𝑎(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
92 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑎 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
9391, 92nfan 1868 . . . . . 6 𝑎((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
94 nfv 1883 . . . . . 6 𝑎(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
95 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝜑
96 nfra2 2975 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
9795, 96nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑏(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
98 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑏 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
9997, 98nfan 1868 . . . . . . . . 9 𝑏((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
100 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑏 𝑎 ∈ ℝ*
10199, 100nfan 1868 . . . . . . . 8 𝑏(((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*)
102 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑏(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
103 inss1 3866 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
104 simp3r 1110 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
105103, 104syl5ss 3647 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ 𝑛)
106 inss2 3867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})
107106a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))
108105, 107ssind 3870 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
109 simpllr 815 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
1101093ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
111 simp1r 1106 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
112 simp2 1082 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
113111, 112jca 553 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*))
114 simp3l 1109 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
115 rsp2 2965 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
116110, 113, 114, 115syl3c 66 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
117 ssn0 4009 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
118108, 116, 117syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
1191183exp 1283 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (𝑏 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
120101, 102, 119rexlimd 3055 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
121120ex 449 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑎 ∈ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
12293, 94, 121rexlimd 3055 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
12388, 122mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
124123ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
12538, 124impbida 895 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
12610, 125bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   × cxp 5141  ran crn 5144   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  *cxr 10111  (,)cioo 12213  topGenctg 16145  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  neicnei 20949  limPtclp 20986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-ioo 12217  df-topgen 16151  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988
This theorem is referenced by:  lptioo2  40181  lptioo1  40182  lptre2pt  40190
  Copyright terms: Public domain W3C validator