Theorem islpir2 19374

Description: Principal ideal rings are where all ideals are principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpiss.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islpir2	⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ 𝑃))

Proof of Theorem islpir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpival.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		lpiss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3	1, 2	islpir 19372	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = 𝑃))
4	1, 2	lpiss 19373	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ⊆ 𝑈)
5	4	biantrud 529	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ⊆ 𝑃 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑃 ⊆ 𝑈)))
6		eqss 3724	. . . 4 ⊢ (𝑈 = 𝑃 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑃 ⊆ 𝑈))
7	5, 6	syl6rbbr 279	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 = 𝑃 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑃))
8	7	pm5.32i 672	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = 𝑃) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ 𝑃))
9	3, 8	bitri 264	1 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ 𝑃))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3680  ‘cfv 6001  Ringcrg 18668  LIdealclidl 19293  LPIdealclpidl 19364  LPIRclpir 19365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-subg 17713  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-subrg 18901  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lsp 19095  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-lidl 19297  df-rsp 19298  df-lpidl 19366  df-lpir 19367

This theorem is referenced by:  drnglpir  19376  zringlpir  19960  ply1lpir  24058