MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmhm2 19260
Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss 19155. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhm2.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
islmhm2.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
islmhm2.k 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
islmhm2.l 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
islmhm2.e 𝐸 = (Base‘𝐾)
islmhm2.p + = (+g𝑆)
islmhm2.q = (+g𝑇)
islmhm2.m · = ( ·𝑠𝑆)
islmhm2.n × = ( ·𝑠𝑇)
Assertion
Ref Expression
islmhm2 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑧   𝑥, × ,𝑧
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   × (𝑦)

Proof of Theorem islmhm2
StepHypRef Expression
1 islmhm2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
2 islmhm2.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
31, 2lmhmf 19256 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
4 islmhm2.k . . . . 5 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
5 islmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
64, 5lmhmsca 19252 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐿 = 𝐾)
7 lmghm 19253 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
9 lmhmlmod1 19255 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
109adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆 ∈ LMod)
11 simpr1 1234 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝐸)
12 simpr2 1236 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
13 islmhm2.m . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑆)
14 islmhm2.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Base‘𝐾)
151, 4, 13, 14lmodvscl 19102 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐸𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
17 simpr3 1238 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
18 islmhm2.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑆)
19 islmhm2.q . . . . . . . 8 = (+g𝑇)
201, 18, 19ghmlin 17886 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) (𝐹𝑧)))
218, 16, 17, 20syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) (𝐹𝑧)))
22 islmhm2.n . . . . . . . . 9 × = ( ·𝑠𝑇)
234, 14, 1, 13, 22lmhmlin 19257 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥𝐸𝑦𝐵) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
24233adant3r3 1200 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
2524oveq1d 6829 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) (𝐹𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
2621, 25eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
2726ralrimivvva 3110 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
283, 6, 273jca 1123 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
2928adantl 473 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
30 lmodgrp 19092 . . . . . 6 (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
31 lmodgrp 19092 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
3230, 31anim12i 591 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
3332adantr 472 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
34 simpr1 1234 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐹:𝐵𝐶)
354lmodring 19093 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ LMod → 𝐾 ∈ Ring)
3635ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → 𝐾 ∈ Ring)
37 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (1r𝐾) = (1r𝐾)
3814, 37ringidcl 18788 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Ring → (1r𝐾) ∈ 𝐸)
39 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (1r𝐾) → (𝑥 · 𝑦) = ((1r𝐾) · 𝑦))
4039oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r𝐾) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) = (((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧))
4140fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1r𝐾) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)))
42 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r𝐾) → (𝑥 × (𝐹𝑦)) = ((1r𝐾) × (𝐹𝑦)))
4342oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1r𝐾) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
4441, 43eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (1r𝐾) → ((𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
45442ralbidv 3127 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1r𝐾) → (∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
4645rspcv 3445 . . . . . . . . 9 ((1r𝐾) ∈ 𝐸 → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
4736, 38, 463syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
48 simplll 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆 ∈ LMod)
49 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
501, 4, 13, 37lmodvs1 19113 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑦𝐵) → ((1r𝐾) · 𝑦) = 𝑦)
5148, 49, 50syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐾) · 𝑦) = 𝑦)
5251oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧) = (𝑦 + 𝑧))
5352fveq2d 6357 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)))
54 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐿 = 𝐾)
5554fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (1r𝐿) = (1r𝐾))
5655oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐿) × (𝐹𝑦)) = ((1r𝐾) × (𝐹𝑦)))
57 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
58 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐹:𝐵𝐶)
5958, 49ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
60 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝐿) = (1r𝐿)
612, 5, 22, 60lmodvs1 19113 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐶) → ((1r𝐿) × (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
6257, 59, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐿) × (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
6356, 62eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
6463oveq1d 6829 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧)))
6553, 64eqeq12d 2775 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
66652ralbidva 3126 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → (∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
6747, 66sylibd 229 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
6867exp32 632 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹:𝐵𝐶 → (𝐿 = 𝐾 → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))))
69683imp2 1443 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧)))
7034, 69jca 555 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
711, 2, 18, 19isghm 17881 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧)))))
7233, 70, 71sylanbrc 701 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
73 simpr2 1236 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐿 = 𝐾)
74 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑆) = (0g𝑆)
75 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑇) = (0g𝑇)
7674, 75ghmid 17887 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
7772, 76syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
7830ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ Grp)
791, 74grpidcl 17671 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝐵)
80 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0g𝑆) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆)))
8180fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0g𝑆) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))))
82 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0g𝑆) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(0g𝑆)))
8382oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0g𝑆) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))))
8481, 83eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (0g𝑆) → ((𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆)))))
8584rspcv 3445 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑆) ∈ 𝐵 → (∀𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆)))))
8678, 79, 853syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆)))))
87 simplll 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ LMod)
88 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑥𝐸)
89 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
9087, 88, 89, 15syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
911, 18, 74grprid 17674 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆)) = (𝑥 · 𝑦))
9278, 90, 91syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆)) = (𝑥 · 𝑦))
9392fveq2d 6357 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)))
94 simplr3 1265 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
9594oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (0g𝑇)))
96 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
9796, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑇 ∈ Grp)
98 simplr2 1263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝐿 = 𝐾)
9998fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐾))
10099, 14syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (Base‘𝐿) = 𝐸)
10188, 100eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐿))
102 simplr1 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝐹:𝐵𝐶)
103102, 89ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
104 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
1052, 5, 22, 104lmodvscl 19102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐶) → (𝑥 × (𝐹𝑦)) ∈ 𝐶)
10696, 101, 103, 105syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝑥 × (𝐹𝑦)) ∈ 𝐶)
1072, 19, 75grprid 17674 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Grp ∧ (𝑥 × (𝐹𝑦)) ∈ 𝐶) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (0g𝑇)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
10897, 106, 107syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (0g𝑇)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
10995, 108eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
11093, 109eqeq12d 2775 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))) ↔ (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
11186, 110sylibd 229 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
112111ralimdvva 3102 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
1131123exp2 1448 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹:𝐵𝐶 → (𝐿 = 𝐾 → ((𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))))
114113com45 97 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹:𝐵𝐶 → (𝐿 = 𝐾 → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ((𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))))
1151143imp2 1443 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → ((𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
11677, 115mpd 15 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
1174, 5, 14, 1, 13, 22islmhm3 19250 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))
118117adantr 472 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))
11972, 73, 116, 118mpbir3and 1428 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
12029, 119impbida 913 1 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643   GrpHom cghm 17878  1rcur 18721  Ringcrg 18767  LModclmod 19085   LMHom clmhm 19241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-ghm 17879  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lmhm 19244
This theorem is referenced by:  isphld  20221
  Copyright terms: Public domain W3C validator