MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds3 20346
Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds3.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islinds3.x 𝑋 = (𝑊s (𝐾𝑌))
islinds3.j 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
islinds3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌𝐽))

Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
21linds1 20322 . . . 4 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌𝐵)
32a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌𝐵))
4 eqid 2748 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
54linds1 20322 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑋))
6 islinds3.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑊s (𝐾𝑌))
76, 1ressbasss 16105 . . . . . 6 (Base‘𝑋) ⊆ 𝐵
85, 7syl6ss 3744 . . . . 5 (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌𝐵)
98adantr 472 . . . 4 ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌𝐵)
109a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌𝐵))
11 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
12 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13 islinds3.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
141, 12, 13lspcl 19149 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊))
151, 13lspssid 19158 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌 ⊆ (𝐾𝑌))
16 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
176, 13, 16, 12lsslsp 19188 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾𝑌)) → (𝐾𝑌) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑌))
1811, 14, 15, 17syl3anc 1463 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑌))
191, 13lspssv 19156 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) ⊆ 𝐵)
206, 1ressbas2 16104 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑌) ⊆ 𝐵 → (𝐾𝑌) = (Base‘𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝐾𝑌) = (Base‘𝑋))
2218, 21eqtr3d 2784 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))
2322biantrud 529 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
2412, 6lsslinds 20343 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾𝑌)) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
2511, 14, 15, 24syl3anc 1463 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
2625bicomd 213 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋)))
2726anbi1d 743 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
2823, 27bitrd 268 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
2928ex 449 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌𝐵 → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))))
303, 10, 29pm5.21ndd 368 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
31 islinds3.j . . 3 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
324, 31, 16islbs4 20344 . 2 (𝑌𝐽 ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))
3330, 32syl6bbr 278 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wss 3703  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  s cress 16031  LModclmod 19036  LSubSpclss 19105  LSpanclspn 19144  LBasisclbs 19247  LIndSclinds 20317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-lbs 19248  df-lindf 20318  df-linds 20319
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator