Theorem islinds3 20346

Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islinds3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islinds3.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islinds3.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝐾‘𝑌))
islinds3.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
islinds3	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem islinds3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islinds3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	linds1 20322	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑌 ⊆ 𝐵))
4		eqid 2748	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
5	4	linds1 20322	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝑋))
6		islinds3.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s (𝐾‘𝑌))
7	6, 1	ressbasss 16105	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑋) ⊆ 𝐵
8	5, 7	syl6ss 3744	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
9	8	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌 ⊆ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) → 𝑌 ⊆ 𝐵))
11		simpl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
12		eqid 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13		islinds3.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
14	1, 12, 13	lspcl 19149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	1, 13	lspssid 19158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌))
16		eqid 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
17	6, 13, 16, 12	lsslsp 19188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌)) → (𝐾‘𝑌) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑌))
18	11, 14, 15, 17	syl3anc 1463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑌))
19	1, 13	lspssv 19156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) ⊆ 𝐵)
20	6, 1	ressbas2 16104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘𝑌) ⊆ 𝐵 → (𝐾‘𝑌) = (Base‘𝑋))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝐾‘𝑌) = (Base‘𝑋))
22	18, 21	eqtr3d 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))
23	22	biantrud 529	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
24	12, 6	lsslinds 20343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑌 ⊆ (𝐾‘𝑌)) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
25	11, 14, 15, 24	syl3anc 1463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊)))
26	25	bicomd 213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋)))
27	26	anbi1d 743	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → ((𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
28	23, 27	bitrd 268	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ⊆ 𝐵) → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
29	28	ex 449	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ⊆ 𝐵 → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))))
30	3, 10, 29	pm5.21ndd 368	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋))))
31		islinds3.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑋)
32	4, 31, 16	islbs4 20344	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 ↔ (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑋) ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑌) = (Base‘𝑋)))
33	30, 32	syl6bbr 278	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑌 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ 𝑌 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ⊆ wss 3703  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030   ↾_s cress 16031  LModclmod 19036  LSubSpclss 19105  LSpanclspn 19144  LBasisclbs 19247  LIndSclinds 20317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-lbs 19248  df-lindf 20318  df-linds 20319

This theorem is referenced by: (None)