Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islindeps2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindeps2 42597
Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z 𝑍 = (0g𝑀)
islindeps2.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
islindeps2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
213adant3 1101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
32ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
4 nzrring 19309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑅) = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 18614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
983ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
109ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (1r𝑅) ∈ 𝐸)
11 simpllr 815 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑠𝑆)
12 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠})))
1310, 11, 123jca 1261 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))))
14 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑓 finSupp 0 )
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑀)
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑅)
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0g𝑀)
19 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝑅) = (invg𝑅)
20 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 42569 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 )
223, 13, 14, 21syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 )
23 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24 elelpwi 4204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠𝐵)
2524expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠𝑆𝑠𝐵))
26253ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (𝑠𝑆𝑠𝐵))
2726imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠𝐵)
28 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
2915, 16, 28, 6lmodvs1 18939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐵) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = 𝑠)
3023, 27, 29syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = 𝑠)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = 𝑠)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
3332eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑠 = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
3531, 34sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 42570 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((1r𝑅)( ·𝑠𝑀)𝑠) = (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
3822, 37jca 553 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
39 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))))
40 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑠 → if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑠) → if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
42 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
43 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ V)
4439, 41, 42, 43fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
45 nzrneg1ne0 42194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NzRing → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑅))
4617a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NzRing → 0 = (0g𝑅))
4745, 46neeqtrrd 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NzRing → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ 0 )
48473ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ 0 )
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ≠ 0 )
5044, 49eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
5150adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
5251adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )
5315, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 42568 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝐸𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠})))) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 𝑆))
543, 13, 53syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) ∈ (𝐸𝑚 𝑆))
55 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (𝑔 finSupp 0 ↔ (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ))
56 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆))
5756eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → ((𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍))
5855, 57anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ↔ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)))
59 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (𝑔𝑠) = ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠))
6059neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → ((𝑔𝑠) ≠ 0 ↔ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ))
6158, 60anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
6261adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) ∧ 𝑔 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))) → (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ (((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 )))
6354, 62rspcedv 3344 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ((((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑠, ((invg𝑅)‘(1r𝑅)), (𝑓𝑧)))‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
6438, 52, 63mp2and 715 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
6564exp31 629 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠})) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))))
6665rexlimdv 3059 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑠𝑆) → (∃𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
6766reximdva 3046 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
6867imp 444 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
69 df-3an 1056 . . . . . . 7 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
70 r19.42v 3121 . . . . . . 7 (∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7169, 70bitr4i 267 . . . . . 6 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7271rexbii 3070 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
73 rexcom 3128 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7472, 73bitri 264 . . . 4 (∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7568, 74sylibr 224 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
7615, 18, 16, 5, 17islindeps 42567 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
77763adant3 1101 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
7877adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸𝑚 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
7975, 78mpbird 247 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) ∧ ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)) → 𝑆 linDepS 𝑀)
8079ex 449 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸𝑚 (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  invgcminusg 17470  1rcur 18547  Ringcrg 18593  LModclmod 18911  NzRingcnzr 19305   linC clinc 42518   linDepS clindeps 42555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-lmod 18913  df-nzr 19306  df-linc 42520  df-lininds 42556  df-lindeps 42558
This theorem is referenced by:  islininds2  42598  isldepslvec2  42599
  Copyright terms: Public domain W3C validator