MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islidl 19426
Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islidl.s 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islidl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
islidl.p + = (+g𝑅)
islidl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
islidl (𝐼𝑈 ↔ (𝐼𝐵𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝐼𝑏𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐼,𝑎,𝑏,𝑥   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islidl
StepHypRef Expression
1 rlmsca2 19416 . 2 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
2 baseid 16126 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
3 islidl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
42, 3strfvi 16120 . 2 𝐵 = (Base‘( I ‘𝑅))
5 rlmbas 19410 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
63, 5eqtri 2793 . 2 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
7 islidl.p . . 3 + = (+g𝑅)
8 rlmplusg 19411 . . 3 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
97, 8eqtri 2793 . 2 + = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
10 islidl.t . . 3 · = (.r𝑅)
11 rlmvsca 19417 . . 3 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
1210, 11eqtri 2793 . 2 · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
13 islidl.s . . 3 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
14 lidlval 19407 . . 3 (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
1513, 14eqtri 2793 . 2 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
161, 4, 6, 9, 12, 15islss 19145 1 (𝐼𝑈 ↔ (𝐼𝐵𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝐼𝑏𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wss 3723  c0 4063   I cid 5156  cfv 6031  (class class class)co 6793  ndxcnx 16061  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150   ·𝑠 cvsca 16153  LSubSpclss 19142  ringLModcrglmod 19384  LIdealclidl 19385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389
This theorem is referenced by:  hbtlem2  38220  2zlidl  42462
  Copyright terms: Public domain W3C validator