Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isipodrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isipodrs 17101
 Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isipodrs ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
Distinct variable group:   𝑧,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem isipodrs
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘(toInc‘𝐴))
21drsbn0 16877 . . . 4 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅)
32neneqd 2795 . . 3 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → ¬ (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
4 fvprc 6152 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) = ∅)
54fveq2d 6162 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = (Base‘∅))
6 base0 15852 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
75, 6syl6eqr 2673 . . 3 𝐴 ∈ V → (Base‘(toInc‘𝐴)) = ∅)
83, 7nsyl2 142 . 2 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset → 𝐴 ∈ V)
9 simp1 1059 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧) → 𝐴 ∈ V)
10 eqid 2621 . . . 4 (le‘(toInc‘𝐴)) = (le‘(toInc‘𝐴))
111, 10isdrs 16874 . . 3 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Preset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
12 eqid 2621 . . . . . . . 8 (toInc‘𝐴) = (toInc‘𝐴)
1312ipopos 17100 . . . . . . 7 (toInc‘𝐴) ∈ Poset
14 posprs 16889 . . . . . . 7 ((toInc‘𝐴) ∈ Poset → (toInc‘𝐴) ∈ Preset )
1513, 14mp1i 13 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (toInc‘𝐴) ∈ Preset )
16 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
1715, 162thd 255 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Preset ↔ 𝐴 ∈ V))
1812ipobas 17095 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)))
19 neeq1 2852 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅))
20 rexeq 3132 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∃𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
2120raleqbi1dv 3139 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
2221raleqbi1dv 3139 . . . . . . . 8 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)))
2319, 22anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝐴 = (Base‘(toInc‘𝐴)) → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
2418, 23syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
25 simpll 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴 ∈ V)
26 simplrl 799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐴)
27 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
2812, 10ipole 17098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐴𝑧𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑥𝑧))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑥𝑧))
30 simplrr 800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐴)
3112, 10ipole 17098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦𝑧))
3225, 30, 27, 31syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦𝑧))
3329, 32anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥𝑧𝑦𝑧)))
34 unss 3771 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
3533, 34syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
3635rexbidva 3044 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (∃𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
37362ralbidva 2984 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
3837anbi2d 739 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
3924, 38bitr3d 270 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
4017, 39anbi12d 746 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Preset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))))
41 3anass 1040 . . . 4 (((toInc‘𝐴) ∈ Preset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ ((toInc‘𝐴) ∈ Preset ∧ ((Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧))))
42 3anass 1040 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
4340, 41, 423bitr4g 303 . . 3 (𝐴 ∈ V → (((toInc‘𝐴) ∈ Preset ∧ (Base‘(toInc‘𝐴)) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))∃𝑧 ∈ (Base‘(toInc‘𝐴))(𝑥(le‘(toInc‘𝐴))𝑧𝑦(le‘(toInc‘𝐴))𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
4411, 43syl5bb 272 . 2 (𝐴 ∈ V → ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)))
458, 9, 44pm5.21nii 368 1 ((toInc‘𝐴) ∈ Dirset ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  ∃wrex 2909  Vcvv 3190   ∪ cun 3558   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  Basecbs 15800  lecple 15888   Preset cpreset 16866  Dirsetcdrs 16867  Posetcpo 16880  toInccipo 17091 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ocomp 15903  df-preset 16868  df-drs 16869  df-poset 16886  df-ipo 17092 This theorem is referenced by:  ipodrscl  17102  fpwipodrs  17104  ipodrsima  17105  nacsfix  36794
 Copyright terms: Public domain W3C validator