MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinv 16626
Description: Value of the inverse relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invfval.x (𝜑𝑋𝐵)
invfval.y (𝜑𝑌𝐵)
invfval.s 𝑆 = (Sect‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isinv (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))

Proof of Theorem isinv
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invfval.n . . . . 5 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 invfval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
5 invfval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
6 invfval.s . . . . 5 𝑆 = (Sect‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6invfval 16625 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋)))
87breqd 4795 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋))𝐺))
9 brin 4836 . . 3 (𝐹((𝑋𝑆𝑌) ∩ (𝑌𝑆𝑋))𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺))
108, 9syl6bb 276 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺)))
11 eqid 2770 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
12 eqid 2770 . . . . . 6 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
13 eqid 2770 . . . . . 6 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
141, 11, 12, 13, 6, 3, 5, 4sectss 16618 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15 relxp 5266 . . . . 5 Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
16 relss 5346 . . . . 5 ((𝑌𝑆𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → (Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → Rel (𝑌𝑆𝑋)))
1714, 15, 16mpisyl 21 . . . 4 (𝜑 → Rel (𝑌𝑆𝑋))
18 relbrcnvg 5645 . . . 4 (Rel (𝑌𝑆𝑋) → (𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹))
2019anbi2d 606 . 2 (𝜑 → ((𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐹(𝑌𝑆𝑋)𝐺) ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
2110, 20bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑆𝑋)𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  cin 3720  wss 3721   class class class wbr 4784   × cxp 5247  ccnv 5248  Rel wrel 5254  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  Hom chom 16159  compcco 16160  Catccat 16531  Idccid 16532  Sectcsect 16610  Invcinv 16611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-sect 16613  df-inv 16614
This theorem is referenced by:  invsym  16628  invfun  16630  invco  16637  inveq  16640  monsect  16649  invid  16653  invcoisoid  16658  isocoinvid  16659  cicref  16667  funcinv  16739  fthinv  16792  fucinv  16839  invfuc  16840  2initoinv  16866  2termoinv  16873  setcinv  16946  catcisolem  16962  catciso  16963  rngcinv  42499  rngcinvALTV  42511  ringcinv  42550  ringcinvALTV  42574
  Copyright terms: Public domain W3C validator