MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinag 25774
Description: Property for point 𝑋 to lie in the angle ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ Defnition 11.23 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isinag.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isinag.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
isinag.x (𝜑𝑋𝑃)
isinag.a (𝜑𝐴𝑃)
isinag.b (𝜑𝐵𝑃)
isinag.c (𝜑𝐶𝑃)
isinag.g (𝜑𝐺𝑉)
Assertion
Ref Expression
isinag (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem isinag
Dummy variables 𝑝 𝑡 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → 𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
21fveq1d 6231 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑡‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
31fveq1d 6231 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑡‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
42, 3neeq12d 2884 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
51fveq1d 6231 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑡‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
65, 3neeq12d 2884 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
7 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → 𝑝 = 𝑋)
87, 3neeq12d 2884 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑝 ≠ (𝑡‘1) ↔ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
94, 6, 83anbi123d 1439 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))))
10 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → 𝑥 = 𝑥)
112, 5oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) = ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
1210, 11eleq12d 2724 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ↔ 𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))))
1310, 3eqeq12d 2666 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑥 = (𝑡‘1) ↔ 𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
143fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝐾‘(𝑡‘1)) = (𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
1510, 14, 7breq123d 4699 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))
1613, 15orbi12d 746 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝) ↔ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)))
1712, 16anbi12d 747 . . . . . . 7 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))))
1817rexbidv 3081 . . . . . 6 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → (∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))))
199, 18anbi12d 747 . . . . 5 ((𝑝 = 𝑋𝑡 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) → ((((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))) ↔ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)))))
20 eqid 2651 . . . . 5 {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))} = {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}
2119, 20brab2a 5228 . . . 4 (𝑋{⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)))))
2221a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑋{⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))))))
23 biidd 252 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ↔ (𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))))
24 isinag.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑃)
25 s3fv0 13682 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
27 isinag.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
28 s3fv1 13683 . . . . . . . 8 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
3026, 29neeq12d 2884 . . . . . 6 (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ 𝐴𝐵))
31 isinag.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑃)
32 s3fv2 13684 . . . . . . . 8 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
3433, 29neeq12d 2884 . . . . . 6 (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ 𝐶𝐵))
3529neeq2d 2883 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ 𝑋𝐵))
3630, 34, 353anbi123d 1439 . . . . 5 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ↔ (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵)))
3726, 33oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) = (𝐴𝐼𝐶))
3837eleq2d 2716 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
3929eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ 𝑥 = 𝐵))
4029fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) = (𝐾𝐵))
4140breqd 4696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋𝑥(𝐾𝐵)𝑋))
4239, 41orbi12d 746 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋) ↔ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))
4338, 42anbi12d 747 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
4443rexbidv 3081 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))
4536, 44anbi12d 747 . . . 4 (𝜑 → ((((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋))) ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
4623, 45anbi12d 747 . . 3 (𝜑 → (((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∧ 𝑋 ≠ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)𝐼(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)) ∧ (𝑥 = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))𝑋)))) ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))))
4722, 46bitrd 268 . 2 (𝜑 → (𝑋{⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))))
48 isinag.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
49 elex 3243 . . . 4 (𝐺𝑉𝐺 ∈ V)
50 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
51 isinag.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Base‘𝐺)
5250, 51syl6eqr 2703 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
5352eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ↔ 𝑝𝑃))
5452oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) = (𝑃𝑚 (0..^3)))
5554eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ↔ 𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
5653, 55anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ↔ (𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))))
57 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = (Itv‘𝐺))
58 isinag.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5957, 58syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = 𝐼)
6059oveqd 6707 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) = ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)))
6160eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2))))
62 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝐺 → (hlG‘𝑔) = (hlG‘𝐺))
63 isinag.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (hlG‘𝐺)
6462, 63syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 → (hlG‘𝑔) = 𝐾)
6564fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 → ((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1)) = (𝐾‘(𝑡‘1)))
6665breqd 4696 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))
6766orbi2d 738 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝) ↔ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝)))
6861, 67anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))
6952, 68rexeqbidv 3183 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))
7069anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → ((((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝))) ↔ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝)))))
7156, 70anbi12d 747 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (((𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝)))) ↔ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))))
7271opabbidv 4749 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝))))} = {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))})
73 df-inag 25773 . . . . 5 inA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑡 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑔)(𝑥 ∈ ((𝑡‘0)(Itv‘𝑔)(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥((hlG‘𝑔)‘(𝑡‘1))𝑝))))})
74 fvex 6239 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
7551, 74eqeltri 2726 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
76 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑃𝑚 (0..^3)) ∈ V
7775, 76xpex 7004 . . . . . 6 (𝑃 × (𝑃𝑚 (0..^3))) ∈ V
78 opabssxp 5227 . . . . . 6 {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))} ⊆ (𝑃 × (𝑃𝑚 (0..^3)))
7977, 78ssexi 4836 . . . . 5 {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))} ∈ V
8072, 73, 79fvmpt 6321 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (inA‘𝐺) = {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))})
8148, 49, 803syl 18 . . 3 (𝜑 → (inA‘𝐺) = {⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))})
8281breqd 4696 . 2 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ 𝑋{⟨𝑝, 𝑡⟩ ∣ ((𝑝𝑃𝑡 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ (((𝑡‘0) ≠ (𝑡‘1) ∧ (𝑡‘2) ≠ (𝑡‘1) ∧ 𝑝 ≠ (𝑡‘1)) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ ((𝑡‘0)𝐼(𝑡‘2)) ∧ (𝑥 = (𝑡‘1) ∨ 𝑥(𝐾‘(𝑡‘1))𝑝))))}⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))
83 isinag.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
8424, 27, 31s3cld 13663 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
85 s3len 13685 . . . . . . 7 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
8685a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
8784, 86jca 553 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
88 3nn0 11348 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
89 wrdmap 13368 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
9075, 88, 89mp2an 708 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9187, 90sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
9283, 91jca 553 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
9392biantrurd 528 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))) ↔ ((𝑋𝑃 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))) ∧ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋))))))
9447, 82, 933bitr4d 300 1 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((𝐴𝐵𝐶𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ (𝑥 = 𝐵𝑥(𝐾𝐵)𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  {copab 4745   × cxp 5141  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  0cc0 9974  1c1 9975  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs3 13633  Basecbs 15904  Itvcitv 25380  hlGchlg 25540  inAcinag 25771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-inag 25773
This theorem is referenced by:  inagswap  25775  inaghl  25776
  Copyright terms: Public domain W3C validator