Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ishlat3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishlat3N 35163
Description: The predicate "is a Hilbert lattice". Note that the superposition principle is expressed in the compact form 𝑧𝐴(𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧). The exchange property and atomicity are provided by 𝐾 ∈ CvLat, and "minimum height 4" is shown explicitly. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ishlat.l = (le‘𝐾)
ishlat.s < = (lt‘𝐾)
ishlat.j = (join‘𝐾)
ishlat.z 0 = (0.‘𝐾)
ishlat.u 1 = (1.‘𝐾)
ishlat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ishlat3N (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ishlat3N
StepHypRef Expression
1 ishlat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ishlat.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 ishlat.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
4 ishlat.j . . 3 = (join‘𝐾)
5 ishlat.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
6 ishlat.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
7 ishlat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ishlat1 35161 . 2 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
9 simpll3 1258 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
10 simplrl 762 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐴)
11 simplrr 763 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐴)
12 simpr 471 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
137, 2, 4cvlsupr3 35153 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧) ↔ (𝑥𝑦 → (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))))
149, 10, 11, 12, 13syl13anc 1478 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧) ↔ (𝑥𝑦 → (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))))
1514rexbidva 3197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (∃𝑧𝐴 (𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑥𝑦 → (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))))
16 ne0i 4069 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐴 ≠ ∅)
1716ad2antrl 707 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
18 r19.37zv 4209 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧𝐴 (𝑥𝑦 → (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (∃𝑧𝐴 (𝑥𝑦 → (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))))
2015, 19bitr2d 269 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧)))
21202ralbidva 3137 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧)))
2221anbi1d 615 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) → ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
2322pm5.32i 564 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
248, 23bitri 264 1 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥 𝑧) = (𝑦 𝑧) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  c0 4063   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  lecple 16156  ltcplt 17149  joincjn 17152  0.cp0 17245  1.cp1 17246  CLatccla 17315  OMLcoml 34984  Atomscatm 35072  CvLatclc 35074  HLchlt 35159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator