MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isglbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isglbd 17324
Description: Properties that determine the greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isglbd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isglbd.l = (le‘𝐾)
isglbd.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
isglbd.1 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐻 𝑦)
isglbd.2 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑥 𝐻)
isglbd.3 (𝜑𝐾 ∈ CLat)
isglbd.4 (𝜑𝑆𝐵)
isglbd.5 (𝜑𝐻𝐵)
Assertion
Ref Expression
isglbd (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isglbd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isglbd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 isglbd.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 isglbd.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐾)
4 biid 251 . . 3 ((∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )))
5 isglbd.3 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ CLat)
6 isglbd.4 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6glbval 17204 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑆) = (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))))
8 isglbd.1 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐻 𝑦)
98ralrimiva 3114 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦)
10 isglbd.2 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦) → 𝑥 𝐻)
11103exp 1111 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)))
1211ralrimiv 3113 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻))
13 isglbd.5 . . . 4 (𝜑𝐻𝐵)
141, 3clatglbcl2 17322 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
155, 6, 14syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝐺)
161, 2, 3, 4, 5, 15glbeu 17203 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )))
17 breq1 4787 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ( 𝑦𝐻 𝑦))
1817ralbidv 3134 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑦𝑆 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦))
19 breq2 4788 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → (𝑥 𝑥 𝐻))
2019imbi2d 329 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ((∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)))
2120ralbidv 3134 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ) ↔ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)))
2218, 21anbi12d 608 . . . . 5 ( = 𝐻 → ((∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 )) ↔ (∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻))))
2322riota2 6775 . . . 4 ((𝐻𝐵 ∧ ∃!𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) → ((∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)) ↔ (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) = 𝐻))
2413, 16, 23syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑦𝑆 𝐻 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 𝐻)) ↔ (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) = 𝐻))
259, 12, 24mpbi2and 683 . 2 (𝜑 → (𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑥 𝑦𝑥 ))) = 𝐻)
267, 25eqtrd 2804 1 (𝜑 → (𝐺𝑆) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  ∃!wreu 3062  wss 3721   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  cfv 6031  crio 6752  Basecbs 16063  lecple 16155  glbcglb 17150  CLatccla 17314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-glb 17182  df-clat 17315
This theorem is referenced by:  dihglblem2N  37097
  Copyright terms: Public domain W3C validator