MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isghmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isghmd 17841
Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isghmd.x 𝑋 = (Base‘𝑆)
isghmd.y 𝑌 = (Base‘𝑇)
isghmd.a + = (+g𝑆)
isghmd.b = (+g𝑇)
isghmd.s (𝜑𝑆 ∈ Grp)
isghmd.t (𝜑𝑇 ∈ Grp)
isghmd.f (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
isghmd.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isghmd (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem isghmd
StepHypRef Expression
1 isghmd.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
2 isghmd.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Grp)
31, 2jca 555 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
4 isghmd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
5 isghmd.l . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
65ralrimivva 3097 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
74, 6jca 555 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
8 isghmd.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑆)
9 isghmd.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝑇)
10 isghmd.a . . 3 + = (+g𝑆)
11 isghmd.b . . 3 = (+g𝑇)
128, 9, 10, 11isghm 17832 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
133, 7, 12sylanbrc 701 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  Grpcgrp 17594   GrpHom cghm 17829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-ghm 17830
This theorem is referenced by:  ghmmhmb  17843  resghm  17848  conjghm  17863  qusghm  17869  invoppggim  17961  galactghm  17994  pj1ghm  18287  frgpup1  18359  mulgghm  18405  ghmfghm  18407  invghm  18410  ghmplusg  18420  ringlghm  18775  ringrghm  18776  isrhmd  18902  lmodvsghm  19097  pwssplit2  19233  asclghm  19511  evlslem1  19688  cygznlem3  20091  psgnghm  20099  frlmup1  20310  mat1ghm  20462  scmatghm  20512  mat2pmatghm  20708  pm2mpghm  20794  reefgim  24374  qqhghm  30312  imasgim  38141  isrnghmd  42381  amgmlemALT  43031
  Copyright terms: Public domain W3C validator