Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfne4 32633
Description: The predicate "𝐵 is finer than 𝐴 " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = 𝐴
isfne.2 𝑌 = 𝐵
Assertion
Ref Expression
isfne4 (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))

Proof of Theorem isfne4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 32631 . . 3 Rel Fne
21brrelex2i 5308 . 2 (𝐴Fne𝐵𝐵 ∈ V)
3 simpl 474 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑋 = 𝑌)
4 isfne.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐴
5 isfne.2 . . . . 5 𝑌 = 𝐵
63, 4, 53eqtr3g 2809 . . . 4 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
7 fvex 6354 . . . . . . 7 (topGen‘𝐵) ∈ V
87ssex 4946 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
98adantl 473 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
10 uniexb 7130 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)
119, 10sylib 208 . . . 4 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
126, 11eqeltrrd 2832 . . 3 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
13 uniexb 7130 . . 3 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1412, 13sylibr 224 . 2 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
154, 5isfne 32632 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
16 dfss3 3725 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
17 eltg 20955 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
1817ralbidv 3116 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
1916, 18syl5bb 272 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
2019anbi2d 742 . . 3 (𝐵 ∈ V → ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
2115, 20bitr4d 271 . 2 (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))))
222, 14, 21pm5.21nii 367 1 (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  Vcvv 3332  cin 3706  wss 3707  𝒫 cpw 4294   cuni 4580   class class class wbr 4796  cfv 6041  topGenctg 16292  Fnecfne 32629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049  df-topgen 16298  df-fne 32630
This theorem is referenced by:  isfne4b  32634  isfne2  32635  isfne3  32636  fnebas  32637  fnetg  32638  topfne  32647  fnemeet1  32659  fnemeet2  32660  fnejoin1  32661  fnejoin2  32662
  Copyright terms: Public domain W3C validator