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Theorem isfinite2 8374
Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isfinite2 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem isfinite2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 8116 . . 3 Rel ≺
21brrelex2i 5299 . 2 (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
3 sdomdom 8137 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≼ ω)
4 domeng 8123 . . . 4 (ω ∈ V → (𝐴 ≼ ω ↔ ∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)))
53, 4syl5ib 234 . . 3 (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → ∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)))
6 ensym 8158 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑦𝑦𝐴)
76ad2antrl 707 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦𝐴)
8 simpl 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ≺ ω)
9 ensdomtr 8252 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝐴 ≺ ω) → 𝑦 ≺ ω)
107, 8, 9syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ≺ ω)
11 sdomnen 8138 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≺ ω → ¬ 𝑦 ≈ ω)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → ¬ 𝑦 ≈ ω)
13 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝑦 ⊆ ω)
14 unbnn 8372 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤) → 𝑦 ≈ ω)
15143expia 1114 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ω) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ≈ ω))
162, 13, 15syl2an 583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → (∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ≈ ω))
1712, 16mtod 189 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
18 rexnal 3143 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
19 omsson 7216 . . . . . . . . . . . . 13 ω ⊆ On
20 sstr 3760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → 𝑦 ⊆ On)
2119, 20mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ ω → 𝑦 ⊆ On)
22 nnord 7220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
23 ssel2 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ∈ On)
24 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤 ∈ V
2524elon 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ On ↔ Ord 𝑤)
2623, 25sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) → Ord 𝑤)
27 ordtri1 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝑤 ∧ Ord 𝑧) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
2826, 27sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ⊆ On ∧ 𝑤𝑦) ∧ Ord 𝑧) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
2928an32s 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) ∧ 𝑤𝑦) → (𝑤𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑤))
3029ralbidva 3134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (∀𝑤𝑦 𝑤𝑧 ↔ ∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤))
31 unissb 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑤𝑦 𝑤𝑧)
32 ralnex 3141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
3332bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤 ↔ ∀𝑤𝑦 ¬ 𝑧𝑤)
3430, 31, 333bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → ( 𝑦𝑧 ↔ ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤))
35 ordunisssuc 5973 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → ( 𝑦𝑧𝑦 ⊆ suc 𝑧))
3634, 35bitr3d 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ⊆ On ∧ Ord 𝑧) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ⊆ suc 𝑧))
3721, 22, 36syl2an 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ⊆ suc 𝑧))
38 peano2b 7228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ω ↔ suc 𝑧 ∈ ω)
39 ssnnfi 8335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((suc 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
4038, 39sylanb 570 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑧) → 𝑦 ∈ Fin)
4140ex 397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ω → (𝑦 ⊆ suc 𝑧𝑦 ∈ Fin))
4241adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ⊆ suc 𝑧𝑦 ∈ Fin))
4337, 42sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ⊆ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4443rexlimdva 3179 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊆ ω → (∃𝑧 ∈ ω ¬ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4518, 44syl5bir 233 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ ω → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4645ad2antll 708 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤𝑦 ∈ Fin))
4717, 46mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝑦 ∈ Fin)
48 simprl 754 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴𝑦)
49 enfii 8333 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑦) → 𝐴 ∈ Fin)
5047, 48, 49syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐴 ≺ ω ∧ (𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω)) → 𝐴 ∈ Fin)
5150ex 397 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → ((𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
5251exlimdv 2013 . . 3 (𝐴 ≺ ω → (∃𝑦(𝐴𝑦𝑦 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ Fin))
535, 52sylcom 30 . 2 (ω ∈ V → (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin))
542, 53mpcom 38 1 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wex 1852  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  wss 3723   cuni 4574   class class class wbr 4786  Ord word 5865  Oncon0 5866  suc csuc 5868  ωcom 7212  cen 8106  cdom 8107  csdm 8108  Fincfn 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113
This theorem is referenced by:  isfiniteg  8376  unfi2  8385  unifi2  8412  axcclem  9481  dirith2  25438  padct  29837  volmeas  30634  axccdom  39934  axccd2  39948
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