MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin1-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin1-2 9409
Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-2 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem isfin1-2
StepHypRef Expression
1 elex 3364 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
2 elex 3364 . . 3 (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV → 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 pwexb 7122 . . . 4 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 pwexb 7122 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
53, 4bitri 264 . . 3 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V)
62, 5sylibr 224 . 2 (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ V)
7 ominf 8328 . . . . . 6 ¬ ω ∈ Fin
8 pwfi 8417 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9 pwfi 8417 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
108, 9bitri 264 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11 domfi 8337 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴) → ω ∈ Fin)
1211expcom 398 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
1310, 12syl5bi 232 . . . . . 6 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ω ∈ Fin))
147, 13mtoi 190 . . . . 5 (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
15 fineqvlem 8330 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴)
1615ex 397 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
1714, 16impbid2 216 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
1817con2bid 343 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
19 isfin4-2 9338 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
205, 19sylbi 207 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝒫 𝐴))
2118, 20bitr4d 271 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV))
221, 6, 21pm5.21nii 367 1 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wcel 2145  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  ωcom 7212  cdom 8107  Fincfn 8109  FinIVcfin4 9304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fin4 9311
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator