MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfbas2 21811
Description: The predicate "𝐹 is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas2 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfbas2
StepHypRef Expression
1 isfbas 21805 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2 elin 3927 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)))
3 selpw 4297 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
43anbi2i 732 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐹𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
52, 4bitri 264 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
65exbii 1911 . . . . . 6 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
7 n0 4062 . . . . . 6 ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8 df-rex 3044 . . . . . 6 (∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
96, 7, 83bitr4i 292 . . . . 5 ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
1092ralbii 3107 . . . 4 (∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
11103anbi3i 1416 . . 3 ((𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
1211anbi2i 732 . 2 ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))))
131, 12syl6bb 276 1 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wex 1841  wcel 2127  wne 2920  wnel 3023  wral 3038  wrex 3039  cin 3702  wss 3703  c0 4046  𝒫 cpw 4290  cfv 6037  fBascfbas 19907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fv 6045  df-fbas 19916
This theorem is referenced by:  fbasssin  21812  fbun  21816  opnfbas  21818  isfil2  21832  fsubbas  21843  fbasrn  21860  rnelfmlem  21928  metustfbas  22534  tailfb  32649
  Copyright terms: Public domain W3C validator