MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfbas 21854
Description: The predicate "𝐹 is a filter base." Note that some authors require filter bases to be closed under pairwise intersections, but that is not necessary under our definition. One advantage of this definition is that tails in a directed set form a filter base under our meaning. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isfbas
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4999 . . . . 5 (𝐵𝐴 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
2 elpw2g 4976 . . . . 5 (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵))
43anbi1d 743 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
5 elex 3352 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
65biantrurd 530 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))))
74, 6bitr3d 270 . 2 (𝐵𝐴 → ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))))
8 df-fbas 19965 . . . 4 fBas = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝒫 𝒫 𝑧 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)})
9 neeq1 2994 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐹 → (𝑤 ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅))
10 neleq2 3041 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐹 → (∅ ∉ 𝑤 ↔ ∅ ∉ 𝐹))
11 ineq1 3950 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝐹 → (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) = (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
1211neeq1d 2991 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐹 → ((𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
1312raleqbi1dv 3285 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐹 → (∀𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
1413raleqbi1dv 3285 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐹 → (∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))
159, 10, 143anbi123d 1548 . . . . 5 (𝑤 = 𝐹 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
1615adantl 473 . . . 4 ((𝑧 = 𝐵𝑤 = 𝐹) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝑤 ∧ ∀𝑥𝑤𝑦𝑤 (𝑤 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
17 pweq 4305 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝐵)
1817pweqd 4307 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → 𝒫 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝒫 𝐵)
19 vpwex 4998 . . . . . 6 𝒫 𝑧 ∈ V
2019pwex 4997 . . . . 5 𝒫 𝒫 𝑧 ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝑧 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑧 ∈ V)
228, 16, 18, 21elmptrab 21852 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
23 3anass 1081 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2422, 23bitri 264 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ (𝐹 ∈ 𝒫 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
257, 24syl6rbbr 279 1 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wnel 3035  wral 3050  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  cfv 6049  fBascfbas 19956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-fbas 19965
This theorem is referenced by:  fbasne0  21855  0nelfb  21856  fbsspw  21857  isfbas2  21860  trfbas2  21868  fbasweak  21890  zfbas  21921  tsmsfbas  22152  ustfilxp  22237  minveclem3b  23419
  Copyright terms: Public domain W3C validator