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Theorem isf34lem4 9237
Description: Lemma for isfin3-4 9242. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspwuni 4643 . . . . 5 (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 𝑋𝐴)
2 compss.a . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32isf34lem1 9232 . . . . 5 ((𝐴𝑉 𝑋𝐴) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
41, 3sylan2b 491 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
54adantrr 753 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
6 simplrr 818 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → ¬ 𝑏 𝑋)
7 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) → 𝑏𝐴)
87ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)
9 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → ¬ 𝑏𝑎)
108, 9eldifd 3618 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴𝑎))
11 simplrr 818 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)
12 elunii 4473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (𝐴𝑎) ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋) → 𝑏 𝑋)
1310, 11, 12syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏 𝑋)
1413ex 449 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → (¬ 𝑏𝑎𝑏 𝑋))
156, 14mt3d 140 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → 𝑏𝑎)
1615expr 642 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
1716ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
1817ex 449 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
19 n0 3964 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐𝑋)
20 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
2120sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
2221elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝐴)
23 dfss4 3891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) = 𝑐)
2422, 23sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) = 𝑐)
25 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝑋)
2624, 25eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
27 difss 3770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑐) ⊆ 𝐴
28 elpw2g 4857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴𝑐) ⊆ 𝐴))
2927, 28mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
3029ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
31 difeq2 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)))
3231eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝐴𝑐) → ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋))
33 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (𝑏𝑎𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
3432, 33imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3534rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3630, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3726, 36mpid 44 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
38 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝐴𝑐) → 𝑏𝐴)
3937, 38syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴))
4039ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑐𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4140exlimdv 1901 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑐 𝑐𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4219, 41syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑋 ≠ ∅ → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4342impr 648 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴))
44 eluni 4471 . . . . . . . . 9 (𝑏 𝑋 ↔ ∃𝑐(𝑏𝑐𝑐𝑋))
4529ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
4626adantlrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
4746adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
48 elndif 3767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑐 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐))
4948ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐))
5047, 49jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
51 annim 440 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)) ↔ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
5250, 51sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
5334notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
5453rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5545, 52, 54syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
56 rexnal 3024 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5755, 56sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5857ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝑐𝑐𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
5958exlimdv 1901 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑐(𝑏𝑐𝑐𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
6044, 59syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 𝑋 → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
6160con2d 129 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ¬ 𝑏 𝑋))
6243, 61jcad 554 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)))
6318, 62impbid 202 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
64 eldif 3617 . . . . 5 (𝑏 ∈ (𝐴 𝑋) ↔ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋))
65 vex 3234 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
6665elintrab 4520 . . . . 5 (𝑏 {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
6763, 64, 663bitr4g 303 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ (𝐴 𝑋) ↔ 𝑏 {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}))
6867eqrdv 2649 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐴 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋})
695, 68eqtrd 2685 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋})
702compss 9236 . . 3 (𝐹𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}
7170inteqi 4511 . 2 (𝐹𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}
7269, 71syl6eqr 2703 1 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   cint 4507  cmpt 4762  cima 5146  cfv 5926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934
This theorem is referenced by:  isf34lem5  9238  isf34lem6  9240
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