Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem6 9218
 Description: Lemma for isfin3-2 9227. Each K value is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
isf32lem.d 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
isf32lem.e 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
isf32lem.f 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
Assertion
Ref Expression
isf32lem6 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝜑   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐹(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem isf32lem6
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . 4 𝐾 = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)
21fveq1i 6230 . . 3 (𝐾𝐴) = (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴)
3 isf32lem.d . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)}
4 ssrab2 3720 . . . . . . . 8 {𝑦 ∈ ω ∣ (𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦)} ⊆ ω
53, 4eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ω
6 isf32lem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
7 isf32lem.b . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
8 isf32lem.c . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
96, 7, 8, 3isf32lem5 9217 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
10 isf32lem.e . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑢 ∈ ω ↦ (𝑣𝑆 (𝑣𝑆) ≈ 𝑢))
1110fin23lem22 9187 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
125, 9, 11sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
13 f1of 6175 . . . . . 6 (𝐽:ω–1-1-onto𝑆𝐽:ω⟶𝑆)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽:ω⟶𝑆)
15 fvco3 6314 . . . . 5 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
1614, 15sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)))
179adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
185, 17, 11sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω–1-1-onto𝑆)
1918, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → 𝐽:ω⟶𝑆)
20 ffvelrn 6397 . . . . . 6 ((𝐽:ω⟶𝑆𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
2119, 20sylancom 702 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐽𝐴) ∈ 𝑆)
22 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝐽𝐴)))
23 suceq 5828 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐽𝐴) → suc 𝑤 = suc (𝐽𝐴))
2423fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐽𝐴) → (𝐹‘suc 𝑤) = (𝐹‘suc (𝐽𝐴)))
2522, 24difeq12d 3762 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐽𝐴) → ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
26 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) = (𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))
27 fvex 6239 . . . . . . 7 (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V
28 difexg 4841 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∈ V → ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ∈ V
3025, 26, 29fvmpt 6321 . . . . 5 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
3121, 30syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤)))‘(𝐽𝐴)) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
3216, 31eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (((𝑤𝑆 ↦ ((𝐹𝑤) ∖ (𝐹‘suc 𝑤))) ∘ 𝐽)‘𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
332, 32syl5eq 2697 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) = ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))))
34 suceq 5828 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐽𝐴) → suc 𝑦 = suc (𝐽𝐴))
3534fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐽𝐴) → (𝐹‘suc 𝑦) = (𝐹‘suc (𝐽𝐴)))
36 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐽𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐽𝐴)))
3735, 36psseq12d 3734 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐽𝐴) → ((𝐹‘suc 𝑦) ⊊ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴))))
3837, 3elrab2 3399 . . . . . 6 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐽𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴))))
3938simprbi 479 . . . . 5 ((𝐽𝐴) ∈ 𝑆 → (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴)))
4021, 39syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴)))
41 df-pss 3623 . . . 4 ((𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊊ (𝐹‘(𝐽𝐴)) ↔ ((𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽𝐴))))
4240, 41sylib 208 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽𝐴))))
43 pssdifn0 3977 . . 3 (((𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ⊆ (𝐹‘(𝐽𝐴)) ∧ (𝐹‘suc (𝐽𝐴)) ≠ (𝐹‘(𝐽𝐴))) → ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ≠ ∅)
4442, 43syl 17 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐽𝐴)) ∖ (𝐹‘suc (𝐽𝐴))) ≠ ∅)
4533, 44eqnetrd 2890 1 ((𝜑𝐴 ∈ ω) → (𝐾𝐴) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   ⊊ wpss 3608  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  ∩ cint 4507   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144   ∘ ccom 5147  suc csuc 5763  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  ℩crio 6650  ωcom 7107   ≈ cen 7994  Fincfn 7997 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803 This theorem is referenced by:  isf32lem9  9221
 Copyright terms: Public domain W3C validator