MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf32lem4 9216
Description: Lemma for isfin3-2 9227. Being a chain, difference sets are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
isf32lem.b (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
isf32lem.c (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
isf32lem4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem isf32lem4
StepHypRef Expression
1 simplrr 818 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
2 simplrl 817 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
3 simpr 476 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 simplll 813 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝜑)
5 incom 3838 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = (((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)))
6 isf32lem.a . . . . 5 (𝜑𝐹:ω⟶𝒫 𝐺)
7 isf32lem.b . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ⊆ (𝐹𝑥))
8 isf32lem.c . . . . 5 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ ran 𝐹)
96, 7, 8isf32lem3 9215 . . . 4 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝜑)) → (((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵)) ∩ ((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴))) = ∅)
105, 9syl5eq 2697 . . 3 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
111, 2, 3, 4, 10syl22anc 1367 . 2 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
12 simplrl 817 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
13 simplrr 818 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
14 simpr 476 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
15 simplll 813 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝜑)
166, 7, 8isf32lem3 9215 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐵𝐴𝜑)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
1712, 13, 14, 15, 16syl22anc 1367 . 2 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ∧ 𝐵𝐴) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
18 simplr 807 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → 𝐴𝐵)
19 nnord 7115 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
20 nnord 7115 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
21 ordtri3 5797 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
2219, 20, 21syl2an 493 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
2322adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
2423necon2abid 2865 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
2518, 24mpbird 247 . 2 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2611, 17, 25mpjaodan 844 1 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐹𝐴) ∖ (𝐹‘suc 𝐴)) ∩ ((𝐹𝐵) ∖ (𝐹‘suc 𝐵))) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cint 4507  ran crn 5144  Ord word 5760  suc csuc 5763  wf 5922  cfv 5926  ωcom 7107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fv 5934  df-om 7108
This theorem is referenced by:  isf32lem7  9219
  Copyright terms: Public domain W3C validator