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Theorem iserex 14431
Description: An infinite series converges, if and only if the series does with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserex.2 (𝜑𝑁𝑍)
iserex.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iserex (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserex
StepHypRef Expression
1 seqeq1 12844 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
21eleq1d 2715 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
32bicomd 213 . . 3 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )))
5 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
6 iserex.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁𝑍)
7 clim2ser.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
86, 7syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
9 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1110zcnd 11521 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
12 ax-1cn 10032 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
13 npcan 10328 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1411, 12, 13sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1514seqeq1d 12847 . . . . . . 7 (𝜑 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
165, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
17 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
1817, 7syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
19 iserex.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
205, 19sylan 487 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
21 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
22 climdm 14329 . . . . . . . 8 (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
2321, 22sylib 208 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
247, 18, 20, 23clim2ser 14429 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
2516, 24eqbrtrrd 4709 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
26 climrel 14267 . . . . . 6 Rel ⇝
2726releldmi 5394 . . . . 5 (seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2825, 27syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
3029, 7syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
3130adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
32 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
3332, 19sylan 487 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3432, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
35 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36 climdm 14329 . . . . . . . 8 (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
3735, 36sylib 208 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
3834, 37eqbrtrd 4707 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
397, 31, 33, 38clim2ser2 14430 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
4026releldmi 5394 . . . . 5 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4139, 40syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4228, 41impbida 895 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4342ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )))
44 uzm1 11756 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
458, 44syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
464, 43, 45mpjaod 395 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  seqcseq 12841  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263
This theorem is referenced by:  isumsplit  14616  isumrpcl  14619  climcnds  14627  geolim2  14646  cvgrat  14659  mertenslem1  14660  mertenslem2  14661  mertens  14662  eftlcvg  14880  rpnnen2lem5  14991  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  dvradcnv  24220  abelthlem7  24237  log2tlbnd  24717  lgamgulmlem4  24803  cvgdvgrat  38829  binomcxplemnotnn0  38872
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