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Theorem iseraltlem2 14457
 Description: Lemma for iseralt 14459. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example 𝑆(1) ≤ 𝑆(3) ≤ 𝑆(5) ≤ ... and ... ≤ 𝑆(4) ≤ 𝑆(2) ≤ 𝑆(0) (assuming 𝑀 = 0 so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iseralt.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
iseralt.5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iseraltlem2 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem2
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
2 2t0e0 11221 . . . . . . . . . 10 (2 · 0) = 0
31, 2syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
43oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + 0))
54fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0)))
65oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))))
76breq1d 4695 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
87imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
9 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑛))
109oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · 𝑛)))
1110fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))))
1211oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
1312breq1d 4695 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
1413imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
15 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑛 + 1)))
1615oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))
1716fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))))
1817oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))))
1918breq1d 4695 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
2019imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
21 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾))
2221oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · 𝐾)))
2322fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))))
2423oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
2524breq1d 4695 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
2625imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
27 iseralt.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
28 uzssz 11745 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2927, 28eqsstri 3668 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ⊆ ℤ
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
3130sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ)
3231zcnd 11521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ ℂ)
3332addid1d 10274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
3433fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
3534oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
36 neg1rr 11163 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
37 neg1ne0 11164 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
38 reexpclz 12920 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
3936, 37, 38mp3an12 1454 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
4031, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
41 iseralt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
42 iseralt.6 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
4330sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
44 reexpclz 12920 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
4536, 37, 44mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
4643, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
47 iseralt.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
4847ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4946, 48remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
5042, 49eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5127, 41, 50serfre 12870 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
5251ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
5340, 52remulcld 10108 . . . . . 6 ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
5453leidd 10632 . . . . 5 ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
5535, 54eqbrtrd 4707 . . . 4 ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
5647ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
57 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
58572timesi 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = (1 + 1)
5958oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (2 · 1)) = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1))
60 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁𝑍)
6160, 27syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑁𝑍) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
63 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
6564zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
66 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
67 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
69 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
7066, 68, 69sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
7166, 57mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) ∈ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 1) ∈ ℂ)
7365, 70, 72addassd 10100 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (2 · 1)) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1))))
7459, 73syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1)) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1))))
75 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ0
76 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
77 nn0mulcl 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
7875, 76, 77sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
79 uzaddcl 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ𝑀))
8062, 78, 79syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ𝑀))
8128, 80sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℤ)
8281zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
83 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
8482, 83, 83addassd 10100 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1)))
85 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8685, 68, 83adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))
8786oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1))))
8874, 84, 873eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) = (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))
89 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
91 nn0mulcl 11367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
9275, 90, 91sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
93 uzaddcl 11782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ (ℤ𝑀))
9462, 92, 93syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ (ℤ𝑀))
9594, 27syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ 𝑍)
9688, 95eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) ∈ 𝑍)
9756, 96ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
98 peano2uz 11779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
9980, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
10099, 27syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ 𝑍)
10156, 100ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
10297, 101resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ)
103 0red 10079 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
10440adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
10551ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
10680, 27syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ 𝑍)
107105, 106ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
108104, 107remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℝ)
109 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
110109ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
111110ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘))
112 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝑘 + 1) = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))
113112fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
114 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
115113, 114breq12d 4698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘) ↔ (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
116115rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺𝑘) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
117100, 111, 116sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
11897, 101suble0d 10656 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ≤ 0 ↔ (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
119117, 118mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ≤ 0)
120102, 103, 108, 119leadd2dd 10680 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + 0))
121 seqp1 12856 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
12299, 121syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
123 seqp1 12856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
12480, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
125124oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
126122, 125eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
12788fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))))
128107recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
12942ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
130129ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)))
131 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
132 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
133132, 114oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
134131, 133eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
135134rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
136100, 130, 135sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
137 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
13937a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
140138, 139, 81expp1zd 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1))
14136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℝ)
142141, 139, 81reexpclzd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
143142recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
144 mulcom 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
145143, 137, 144sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
146143mulm1d 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) = -(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
147140, 145, 1463eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = -(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
148147oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
149101recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
150 mulneg12 10506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
151143, 149, 150syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
152136, 148, 1513eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
153101renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
154142, 153remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ)
155152, 154eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
157 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
158 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
159 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
160158, 159oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
161157, 160eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → ((𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
162161rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) ∈ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺𝑘)) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
16396, 130, 162sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
16481peano2zd 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ ℤ)
165138, 139, 164expp1zd 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · -1))
166147oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · -1) = (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1))
167 mul2neg 10507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · 1))
168143, 57, 167sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · 1))
169143mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · 1) = (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
170168, 169eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
171165, 166, 1703eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))
172171oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
173163, 172eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
174142, 97remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℝ)
175173, 174eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
176175recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℂ)
177128, 156, 176addassd 10100 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
178126, 127, 1773eqtr3d 2693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
179178oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))))
180104recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
181155, 175readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℝ)
182181recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℂ)
183180, 128, 182adddid 10102 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))))
184180, 156, 176adddid 10102 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = (((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
185152oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
186153recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
187180, 143, 186mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
188185, 187eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
18985, 65, 68adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑁 + 𝑛)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 𝑛)))
190652timesd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
191190oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑁) + (2 · 𝑛)) = ((𝑁 + 𝑁) + (2 · 𝑛)))
19265, 65, 70addassd 10100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑁) + (2 · 𝑛)) = (𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛))))
193189, 191, 1923eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛))) = (2 · (𝑁 + 𝑛)))
194193oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))))
195 expaddz 12944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
196138, 139, 64, 81, 195syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
197 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
199 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
200 zaddcl 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)
20131, 199, 200syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)
202 expmulz 12946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))) = ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)))
203138, 139, 198, 201, 202syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))) = ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)))
204 neg1sqe1 12999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1↑2) = 1
205204oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)) = (1↑(𝑁 + 𝑛))
206 1exp 12929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
207201, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
208205, 207syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
209203, 208eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · (𝑁 + 𝑛))) = 1)
210194, 196, 2093eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) = 1)
211210oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (1 · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
212186mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1 · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
213188, 211, 2123eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))
214173oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
21597recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℂ)
216180, 143, 215mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))
217214, 216eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
218210oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (1 · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
219215mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
220217, 218, 2193eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))
221213, 220oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))
222149negcld 10417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ)
223222, 215addcomd 10276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) + -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
224215, 149negsubd 10436 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) + -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
225223, 224eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
226184, 221, 2253eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))
227226oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))))
228179, 183, 2273eqtrrd 2690 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))))
229108recnd 10106 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℂ)
230229addid1d 10274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + 0) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
231120, 228, 2303brtr3d 4716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))))
232105, 95ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
233104, 232remulcld 10108 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
23453adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
235 letr 10169 . . . . . . . 8 ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℝ ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ) → ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
236233, 108, 234, 235syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
237231, 236mpand 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑁𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
238237expcom 450 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜑𝑁𝑍) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
239238a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
2408, 14, 20, 26, 55, 239nn0ind 11510 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝜑𝑁𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
241240com12 32 . 2 ((𝜑𝑁𝑍) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
2422413impia 1280 1 ((𝜑𝑁𝑍𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  seqcseq 12841  ↑cexp 12900   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901 This theorem is referenced by:  iseraltlem3  14458
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