MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseqlg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseqlg 25792
Description: Property of a triangle being equilateral. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
iseqlg.m = (dist‘𝐺)
iseqlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iseqlg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
iseqlg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
iseqlg.a (𝜑𝐴𝑃)
iseqlg.b (𝜑𝐵𝑃)
iseqlg.c (𝜑𝐶𝑃)
Assertion
Ref Expression
iseqlg (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))

Proof of Theorem iseqlg
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqlg.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
2 elex 3243 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
3 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
4 iseqlg.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
53, 4syl6eqr 2703 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
65oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) = (𝑃𝑚 (0..^3)))
7 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
87breqd 4696 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩))
96, 8rabeqbidv 3226 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} = {𝑥 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
10 df-eqlg 25791 . . . . 5 eqltrG = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ((Base‘𝑔) ↑𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝑔)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
11 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑃𝑚 (0..^3)) ∈ V
1211rabex 4845 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ∈ V
139, 10, 12fvmpt 6321 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
141, 2, 133syl 18 . . 3 (𝜑 → (eqltrG‘𝐺) = {𝑥 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩})
1514eleq2d 2716 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩}))
16 id 22 . . . . 5 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → 𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
17 fveq1 6228 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
18 fveq1 6228 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
19 fveq1 6228 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
2017, 18, 19s3eqd 13655 . . . . 5 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → ⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ = ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)
2116, 20breq12d 4698 . . . 4 (𝑥 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ → (𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
2221elrab 3396 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩))
2322a1i 11 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ {𝑥 ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∣ 𝑥(cgrG‘𝐺)⟨“(𝑥‘1)(𝑥‘2)(𝑥‘0)”⟩} ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
24 iseqlg.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
25 iseqlg.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑃)
26 iseqlg.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
2724, 25, 26s3cld 13663 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
28 s3len 13685 . . . . . . 7 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
3027, 29jca 553 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3))
31 fvex 6239 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
324, 31eqeltri 2726 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
33 3nn0 11348 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
34 wrdmap 13368 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3))))
3532, 33, 34mp2an 708 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
3630, 35sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)))
3736biantrurd 528 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩)))
38 s3fv1 13683 . . . . . 6 (𝐵𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
3925, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
40 s3fv2 13684 . . . . . 6 (𝐶𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
4126, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
42 s3fv0 13682 . . . . . 6 (𝐴𝑃 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
4324, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
4439, 41, 43s3eqd 13655 . . . 4 (𝜑 → ⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ = ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩)
4544breq2d 4697 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
4637, 45bitr3d 270 . 2 (𝜑 → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃𝑚 (0..^3)) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)(⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)”⟩) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
4715, 23, 463bitrd 294 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (eqltrG‘𝐺) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  0cc0 9974  1c1 9975  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs3 13633  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  cgrGccgrg 25450  eqltrGceqlg 25790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-eqlg 25791
This theorem is referenced by:  iseqlgd  25793
  Copyright terms: Public domain W3C validator