MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdrs 17135
Description: Property of being a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrs.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isdrs.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isdrs (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isdrs
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 → (Base‘𝑓) = (Base‘𝐾))
2 isdrs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
31, 2syl6eqr 2812 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 → (Base‘𝑓) = 𝐵)
4 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐾 → (le‘𝑓) = (le‘𝐾))
5 isdrs.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
64, 5syl6eqr 2812 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐾 → (le‘𝑓) = )
76sbceq1d 3581 . . . . 5 (𝑓 = 𝐾 → ([(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ [ / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧))))
83, 7sbceqbid 3583 . . . 4 (𝑓 = 𝐾 → ([(Base‘𝑓) / 𝑏][(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ [𝐵 / 𝑏][ / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧))))
9 fvex 6362 . . . . . 6 (Base‘𝐾) ∈ V
102, 9eqeltri 2835 . . . . 5 𝐵 ∈ V
11 fvex 6362 . . . . . 6 (le‘𝐾) ∈ V
125, 11eqeltri 2835 . . . . 5 ∈ V
13 neeq1 2994 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1413adantr 472 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐵𝑟 = ) → (𝑏 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
15 rexeq 3278 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)))
1615raleqbi1dv 3285 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)))
1716raleqbi1dv 3285 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)))
18 breq 4806 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = → (𝑥𝑟𝑧𝑥 𝑧))
19 breq 4806 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = → (𝑦𝑟𝑧𝑦 𝑧))
2018, 19anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑟 = → ((𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
2120rexbidv 3190 . . . . . . . 8 (𝑟 = → (∃𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
22212ralbidv 3127 . . . . . . 7 (𝑟 = → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
2317, 22sylan9bb 738 . . . . . 6 ((𝑏 = 𝐵𝑟 = ) → (∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
2414, 23anbi12d 749 . . . . 5 ((𝑏 = 𝐵𝑟 = ) → ((𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
2510, 12, 24sbc2ie 3646 . . . 4 ([𝐵 / 𝑏][ / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
268, 25syl6bb 276 . . 3 (𝑓 = 𝐾 → ([(Base‘𝑓) / 𝑏][(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧)) ↔ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
27 df-drs 17130 . . 3 Dirset = {𝑓 ∈ Preset ∣ [(Base‘𝑓) / 𝑏][(le‘𝑓) / 𝑟](𝑏 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑏 (𝑥𝑟𝑧𝑦𝑟𝑧))}
2826, 27elrab2 3507 . 2 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
29 3anass 1081 . 2 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)) ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧))))
3028, 29bitr4i 267 1 (𝐾 ∈ Dirset ↔ (𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 𝑧𝑦 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  [wsbc 3576  c0 4058   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16059  lecple 16150   Preset cpreset 17127  Dirsetcdrs 17128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-iota 6012  df-fv 6057  df-drs 17130
This theorem is referenced by:  drsdir  17136  drsprs  17137  drsbn0  17138  isdrs2  17140  isipodrs  17362
  Copyright terms: Public domain W3C validator